曲率

曲線の曲がり具合を示す量が曲率 $3$\displaystyle{{\kappa}}$ である．曲線上の点Ａからに沿って $3$\displaystyle{ {\Delta}s }$ 移動し点Ｂに達したとする．点Ａでの移動方向と点Ｂでの移動方向の角度の変化量を $3$\displaystyle{ {\Delta}{\theta} }$ とする．角度の変化は進行方向に対して左回り（反時計回り）に変化する場合を正とする．曲率 $3$\displaystyle{{\kappa}}$ は

$3$\displaystyle{ {\kappa}={ \lim }\limits_{ {\Delta}s\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}s \hspace{2}} }$

と定義される．すなわち，曲率 $3$\displaystyle{{\kappa}}$ は曲線上の点の移動距離に関する進行移動方向の変化率である．

曲線が $3$\displaystyle{ y=f$x$ }$ で表される場合，曲線上の点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{\text{A}},f \( \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ \) }$ における曲率 $3$\displaystyle{{\kappa}}$ は

$3$\displaystyle{ {\kappa}=\frac{\hspace{2} {f}^{\prime\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} { \[ 1+{ \{ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ \} }^{2} \] }^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}} }$

となる．

導出

点Aでの移動方向を単位ベクトルで表したものを $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{A} }$ ，点Bでの移動距離を単位ベクトルで表したものを $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{B} }$ とし， $3$\displaystyle{x}$ 軸と $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{A} }$ のなす角を $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{\text{A}}}$ ， $3$\displaystyle{x}$ 軸と $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{B} }$ のなす角を $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{{\theta}}}_{\text{B}}}$ とする．

$3$\displaystyle{ {\Delta}{\theta}=\hspace{1}{{\theta}}_{\text{B}}- \hspace{1}{{\theta}}_{\text{A}} }$

$3$\displaystyle{ \tan {\Delta}{\theta}=\tan $ \hspace{1}{{\theta}}_{B}- \hspace{1}{{\theta}}_{A} $ }$

正接関数の加法定理より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \tan \hspace{1}{{\theta}}_{\text{B}}- \tan \hspace{1}{{\theta}}_{\text{A}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+\tan \hspace{1}{{\theta}}_{\text{B}}\tan \hspace{1}{{\theta}}_{\text{A}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\tan \hspace{1}{{\theta}}_{\text{A}}={f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ ,\tan \hspace{1}{{\theta}}_{\text{B}}={f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{B}} $ }$ より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{B}} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{B}} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ \hspace{2}}}$

逆正接関数を用いると,

$3$\displaystyle{{\Delta}{\theta}={\tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{B}} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{B}} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\tan }^{ - 1 }x}$ のマクローリン展開 $3$\displaystyle{ { \tan }^{ - 1 }x=x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{x}^{5}- \cdots }$ より

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \( \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}} \) }^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \( \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}} \) }^{5}- \cdots }$

一方,積分の平均値の定理より

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{x}_{C} $ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{B}- \hspace{1}{x}_{A} \hspace{2}}\displaystyle{ {\int }\limits_{ \hspace{1}{x}_{A} }^{ \hspace{1}{x}_{B} } f $x$ }dx}$

$3$\displaystyle{\sqrt{ 1+{ \{ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{C} $ \} }^{2} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{B}- \hspace{1}{x}_{A} \hspace{2}}\displaystyle{ {\int }\limits_{ \hspace{1}{x}_{A} }^{ \hspace{1}{x}_{B} } \sqrt{ 1+{ \{ {f}^{\prime } $x$ \} }^{2} } }dx}$

が成り立つ

よって

$3$\displaystyle{ {\Delta}s=\displaystyle{{\int }\limits_{\hspace{1}{x}_{\text{A}}}^{\hspace{1}{x}_{\text{B}}}\sqrt{ 1+ { \{ f{ }^{\prime } $x$ \} }^{2} }}dx }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ 1+ { \{ f{ }^{\prime } $\hspace{1}{x}_{\text{C}}$ \} }^{2} } $ \hspace{1}{x}_{\text{B}}- \hspace{1}{x}_{\text{A}} $ }$

$3$\displaystyle{{\Delta}s\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{B}}\rightarrow \hspace{1}{x}_{\text{A}}}$ となる．

よって曲率Kは,

$3$\displaystyle{K={ \lim }\limits_{ {\Delta}s\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}s \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{x}_{B}\rightarrow \hspace{1}{x}_{A} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+{ \{ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{C} $ \} }^{2} } $ \hspace{1}{x}_{B}- \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \( \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ \hspace{2}} \) }^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \( \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ \hspace{2}} \) }^{5}- \cdots \} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{x}_{B}\rightarrow \hspace{1}{x}_{A} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+{ \{ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{C} $ \} }^{2} } $ \hspace{1}{x}_{B}- \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ \hspace{2}} \{ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \( \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ \hspace{2}} \) }^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } \( \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ \hspace{2}} \) }^{4}- \cdots \} }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{B}\rightarrow \hspace{1}{x}_{A}}$ のとき $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{C}\rightarrow \hspace{1}{x}_{A}}$ また,導関数の定義より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ \hspace{1}{x}_{B}\rightarrow \hspace{1}{x}_{A} }\frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ \hspace{2}}=0}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ \hspace{1}{x}_{B}\rightarrow \hspace{1}{x}_{A} }\frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{B} $ - {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{B}- \hspace{1}{x}_{A} \hspace{2}}={f}^{\prime\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ }$

が成り立つ

よって

$3$\displaystyle{k=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+{ \{ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \} }^{2} } \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \cdot {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}\cdot {f}^{\prime\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {f}^{\prime\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \hspace{2}}{\hspace{2} { \[ \sqrt{ 1+{ \{ {f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{A} $ \} }^{2} } \] }^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}}$

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最終更新日：2025年5月14日