偏導関数

ある領域 $3$D$ で2変数関数 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ は偏微分可能であるとする．領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ の各点 $3$\displaystyle{ $ x,y $ }$ に対して， $3$\displaystyle{ $ x,y $ }$ における $3$x$ に関する偏微分係数を対応させた関数を $3$x\text{\hspace{1} }$ に関する偏導関数といい $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ x,y $ }$ と表わす．すなわち， $3$x\text{\hspace{1} }$ に関する偏導関数を

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ x,y $ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

と定義する．

同様に，領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ の各点 $3$\displaystyle{ $ x,y $ }$ に対して， $3$\displaystyle{ $ x,y $ }$ における $3$y\text{\hspace{1} }$ に関する偏微分係数を対応させた関数を $3$y\text{\hspace{1} }$ に関する偏導関数といい $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ }$ と表わす．すなわち， $3$y\text{\hspace{1} }$ に関する偏導関数を

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ ={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x,y+k $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}}$

と定義する．

■偏微分の表記

$3$ \hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)$ は以下のように表記する場合もある．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}}$

$3$ \hspace{1}{f}_{y}\left({ x,y }\right)$ は以下のように表記する場合もある．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年2月8日