偏微分の基本公式(I)の導出：定数倍

$3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ は $3$\displaystyle{x,y}$ を変数とする関数（2変数関数）， $3$\displaystyle{c}$ は定数とすると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}cf $ x,y $ =c\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$

が成り立つ．

■導出

偏導関数の定義式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

を利用すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}cf $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} cf $ x+h,y $ - cf $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} c \{ f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=c{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=c\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$

よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}cf $ x,y $ =c\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$

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最終更新日： 2023年1月21日