偏微分の基本公式(I)の導出：積

$3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ ， $3$\displaystyle{g $ x,y $ }$ は $3$\displaystyle{x,y}$ を変数とする関数（2変数関数）とすると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} \{ f $ x,y $ g $ x,y $ \} }$ $3$\displaystyle{ = $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) g $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{ +f $ x,y $ $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}g \( x,y $ \) }$

が成り立つ．

■導出

偏導関数の定義式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

を利用すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} \{ f $ x,y $ g $ x,y $ \} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \{ f $ x+h,y $ g $ x+h,y $ \} - \{ f $ x,y $ g $ x,y $ \} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ g $ x+h,y $ - f $ x,y $ g $ x+h,y $ +f $ x,y $ g $ x+h,y $ - f $ x,y $ g $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ g $ x+h,y $ - f $ x,y $ g $ x+h,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ +{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x,y $ g $ x+h,y $ - f $ x,y $ g $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}g $ x+h,y $ }$ $3$\displaystyle{ +{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }f $ x,y $ \frac{\hspace{2} g $ x+h,y $ - g $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }g $ x+h,y $ }$ $3$\displaystyle{ +f $ x,y $ { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ x+h,y $ - g $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ = $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) g $ x,y $ +f $ x,y $ $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}g \( x,y $ \) }$

よって

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最終更新日： 2023年1月21日