偏微分の基本公式(I)の導出：合成関数

$3$\displaystyle{f $ g \( x,y $ \) }$ は1変数関数 $3$\displaystyle{f $ x $ }$ と2変数関数 $3$\displaystyle{g $ x,y $ }$ から成る合成関数であるとすると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ g \( x,y $ \) ={f}^{\prime } $ g \( x,y $ \) \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}g $ x,y $ }$

が成り立つ．

$3$\displaystyle{z=f\left({u}\right)}$ ， $3$\displaystyle{u=g\left({ x,y }\right)}$ とおくと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f\left({ g\left({ x,y }\right) }\right)=\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}}$

と表せる．

■導出

偏導関数の定義式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h,y $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

を利用すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ g \( x,y $ \) }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h,y $ \) - f $ g \( x,y $ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h,y $ \) - f $ g \( x,y $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+h,y $ - g $ x,y $ \hspace{2}}\frac{\hspace{2} g $ x+h,y $ - g $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h,y $ \) - f $ g \( x,y $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+h,y $ - g $ x,y $ \hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ x+h,y $ - g $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{= \{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h,y $ \) - f $ g \( x,y $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+h,y $ - g $ x,y $ \hspace{2}} \} \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}g $ x,y $ }$

$3$\displaystyle{ g $ x+h,y $ - g $ x,y $ =j }$ とおくと

$3$\displaystyle{ g $ x+h,y $ =g $ x,y $ +j }$

となり， $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ であるので

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ g \( x,y $ \) = \{ { \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x,y $ +j \) - f $ g \( x,y $ \) \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \} \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}g $ x,y $ }$

よって

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最終更新日： 2023年1月20日