2変数関数の極値の証明 (1)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ =\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ =0}$ とする． $3$\displaystyle{ A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ }$ , $3$\displaystyle{ B=\hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ }$ , $3$\displaystyle{ C=\hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$ , $3$\displaystyle{ D={B}^{2}- AC }$ とおくと

・ $3$\displaystyle{A> 0,D< 0}$ ならば $3$\displaystyle{f $ a,b $ }$ は極小値

・ $3$\displaystyle{A< 0,D< 0}$ ならば $3$\displaystyle{f $ a,b $ }$ は極大値

・ $3$\displaystyle{D> 0}$ ならば $3$\displaystyle{f $ a,b $ }$ は極値でない

■証明

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ =\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ =0 }$ とする．･･････(1)

テイラーの定理

$3$\displaystyle{ f $ a+h,b+k $ =f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1! \hspace{2}} $ h\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} +k\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}} $ h\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} +{ k\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}f{ $ a,b $ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ +\cdots }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}} $ h\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} { +k\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{n}f{ $a,b$ }^{n} }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{R}_{ n+1 } }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{ n+1 } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ n+1 $ ! \hspace{2}} $ h\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} { +k\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{ n+1 } f $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ }$ 　　（ただし, $3$\displaystyle{ 0< {\theta}< 1 }$ ）

を $3$\displaystyle{n=1}$ の場合に適用すると

$3$\displaystyle{f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1! \hspace{2}} $ h\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} +k\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ f$a,b$ }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{R}_{2}- f$a,b$ }$

$3$\displaystyle{=h\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ a,b $ +k\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ a,b $ +\hspace{1}{R}_{2}}$

$3$\displaystyle{=h\hspace{1}{f}_{x}+k\hspace{1}{f}_{y}+\hspace{1}{R}_{2}}$

(1)の条件より

$3$\displaystyle{f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{R}_{2}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{ $ h\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+k\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}f $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {h}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}+2hk\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x{\partial}y \hspace{2}}+{k}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}} $ f $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ {h}^{2}\frac{\hspace{2}{{\partial}}^{2}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f $ a+ {\theta}h,b+ {\theta}k $ }$ $3$\displaystyle{ + 2hk\frac{\hspace{2}{{\partial}}^{2}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x{\partial}y \hspace{2}}f $ a+ {\theta}h,b+ {\theta}k $ }$ $3$\displaystyle{ \left.{ + {k}^{2}\frac{\hspace{2}{{\partial}}^{2}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f $ a+ {\theta}h,b+ {\theta}k $ }\right\} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ {h}^{2}\hspace{1}{f}_{ xx } $ a+ {\theta}h,b+ {\theta}k $ }$ $3$\displaystyle{ + 2hk\hspace{1}{f}_{ xy } $ a+ {\theta}h,b+ {\theta}k $ }$ $3$\displaystyle{ \left.{ + {k}^{2}\hspace{1}{f}_{ yy } $ a+ {\theta}h,b+ {\theta}k $ }\right\} }$ 　　（ただし, $3$\displaystyle{ 0< {\theta}< 1 }$ ）

ここで $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ xx } $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ =A}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ xy } $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ =B}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ yy } $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ =C}$ とおくと

$3$\displaystyle{ f $ a+ h,b+ k $ - f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ A{h}^{2} \left.{ + 2Bhk+ C{k}^{2} }\right\} }$

となり，

$3$\displaystyle{f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ }$ の符号は， $3$\displaystyle{A,B,C}$ の値が同時に0でないとき， $3$\displaystyle{ A{h}^{2}+2Bhk+C{k}^{2} }$ の符号によって決まる．

$3$\displaystyle{ A{h}^{2}+2Bhk+C{k}^{2} }$ を平方完成すると，

$3$\displaystyle{ A{h}^{2}+2Bhk+C{k}^{2} }$ $3$\displaystyle{ =A{ $ h+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2}A\hspace{2}}k $ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ - $ \frac{\hspace{2} {B}^{2}- AC \hspace{2}}{\hspace{2}A\hspace{2}} $ {k}^{2} }$ ･･････(2)

(2)より

$3$\displaystyle{ {B}^{2}- AC=D }$ とおくと

$3$\displaystyle{A> 0,D< 0}$ のとき

$3$\displaystyle{f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ > 0}$ となる．

$3$\displaystyle{A< 0,D< 0}$ のとき

$3$\displaystyle{f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ < 0}$ となる．

また $3$\displaystyle{ \|h\| , \|k\| }$ の値が十分小さいとき，

$3$\displaystyle{A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ \rightarrow A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ }$

$3$\displaystyle{B=\hspace{1}{f}_{ xy } $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ \rightarrow B=\hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ }$

$3$\displaystyle{C=\hspace{1}{f}_{ yy } $ a+{\theta}h,b+{\theta}k $ \rightarrow C=\hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$

と書き換えることができる．

以上より

$3$\displaystyle{ A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ }$ , $3$\displaystyle{ B=\hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ }$ , $3$\displaystyle{ C=\hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$ , $3$\displaystyle{ D={B}^{2}- AC }$ とおくと

$3$\displaystyle{A> 0,D< 0}$ ならば $3$\displaystyle{f $ a,b $ }$ は極小値， $3$\displaystyle{A< 0,D< 0}$ ならば $3$\displaystyle{f $ a,b $ }$ は極大値となる．

$3$\displaystyle{D> 0}$ のときについて考える．

これは， $3$\displaystyle{ A{h}^{2}+2Bhk+C{k}^{2} }$ を $3$\displaystyle{h}$ の2次式として考え，判別式 $3$\displaystyle{{D}^{\prime }}$ を利用すると，

$3$\displaystyle{{D}^{\prime }={ $ 2Bk $ }^{2}- 4AC{k}^{2}}$ $3$\displaystyle{=4{k}^{2} $ {B}^{2}- AC $ }$

となる．つまり $3$\displaystyle{D}$ が正のとき $3$\displaystyle{D\prime }$ は正となり，この2次式は解を持つことになるので，

$3$\displaystyle{ A{h}^{2}+2Bhk+C{k}^{2} }$

は正にも負にもなる．

よって $3$\displaystyle{D> 0}$ のときは， $3$\displaystyle{f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ }$ の値が正にも負にもなるので， $3$\displaystyle{f $ a,b $ }$ は極値でない．

また $3$\displaystyle{D=0}$ のときは， $3$\displaystyle{f $ a,b $ }$ が極値のときも，そうでないときもあり得るので， $3$\displaystyle{D=0}$ のときはわからない．

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最終更新日： 2023年1月21日