ラプラシアン

$3$\displaystyle{ x }$ ， $3$\displaystyle{ y }$ の関数 $3$\displaystyle{ f\left({ x,y }\right) }$ に対して

$3$\displaystyle{ {\Delta}f=\hspace{1}{f}_{ xx }+\hspace{1}{f}_{ yy }=\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}f \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}}} }$

で定義される２階の微分作用素 $3$\displaystyle{ {\Delta} }$ をラプラシアンまたはラプラス微分作用素という．また，微分方程式

$3$\displaystyle{ {\Delta}f=0 }$

をラプラスの微分方程式という．

一般に， $3$\displaystyle{ n }$ 変数の関数

$3$\displaystyle{ u=f\left({ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},...,\hspace{1}{x}_{n} }\right) }$

に対しても，記号 $3$\displaystyle{ {\Delta} }$ を用いて形式的に

$3$\displaystyle{ {\Delta}=\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x_{1}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x_{2}^{2} \hspace{2}}+...+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x_{n}^{2} \hspace{2}} }$

と定めて

$3$\displaystyle{ {\Delta}u=\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x_{1}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x_{2}^{2} \hspace{2}}+...+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x_{n}^{2} \hspace{2}} }$

の意味で使われる．そして

$3$\displaystyle{ {\Delta}u=0 }$

を満たす関数 $3$\displaystyle{ u=f\left({ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},...,\hspace{1}{x}_{n} }\right) }$ を調和関数という．

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2025年7月28日