複素の絶対値の性質

複素数 $3$$ に関して

$3$\displaystyle{ \|z\| = \| - z \| = \|\bar{z}\| }$

が成り立つ．

■証明

$3$\displaystyle{ z=a+bi }$ とすると

$3$\displaystyle{- z=- a- bi}$ （ $3$- z$ を参照）

$3$\displaystyle{\bar{z}=a- bi}$ （共役な複素数を参照）

となる．

複素数の絶対値の定義より

$3$\displaystyle{\left|{z}\right|=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }}$

$3$\displaystyle{\left|{ - z }\right|=\sqrt{ { \left({ - a }\right) }^{2}+{ \left({ - b }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }}$

$3$\displaystyle{\left|{\bar{z}}\right|=\sqrt{ {a}^{2}+{ \left({ - b }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }}$

したがって

$3$\displaystyle{ \|z\| = \| - z \| = \|\bar{z}\| }$

が成り立つ．

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最終更新日 2025年11月28日