複素数の絶対値の性質

複素数 $3$$ に関して

$3$\displaystyle{z\text{\hspace{1} }\bar{z}={ \|z\| }^{2}}$

が成り立つ．

■証明

$3$\displaystyle{ z=a+bi }$ とすると

$3$\displaystyle{\bar{z}=a- bi}$ （共役な複素数を参照）

となる．

$3$\displaystyle{z\bar{z}=\left({ a+bi }\right)\left({ a- bi }\right)}$ $3$\displaystyle{={a}^{2}- abi+abi- {\left({ bi }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{={a}^{2}+{b}^{2}}$

$3$\displaystyle{{\left|{z}\right|}^{2}={\left({ \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{={a}^{2}+{b}^{2}}$ 　　（複素数の絶対値の定義を参照）

したがって

$3$\displaystyle{z\text{\hspace{1} }\bar{z}={ \|z\| }^{2}}$

が成り立つ．

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最終更新日 2025年11月28日