複素数 $3$z$ が純虚数であるための必要十分条件

$3$\displaystyle{\bar{z}=- z}$

■証明

複素数 $3$\displaystyle{z}$ が純虚数ならば

$3$z=bi$ ， $3$b$ は実数

と表せる．よって，共役な複素数の定義より

$3$\displaystyle{\bar{z}=- bi}$

となり

$3$\displaystyle{\bar{z}=- z}$

が成り立つ．

$3$\displaystyle{z=a+b\text{\hspace{2}}i}$ ， $3$a$ ， $3$b$ は実数，とすると

$3$\displaystyle{\bar{z}=a- bi}$

である．

$3$\bar{z}=- z$ ならば

$3$a- bi=- a- bi$

が成り立つ必要がある．よって

$3$\displaystyle{a- bi=- a- bi}$

$3$\displaystyle{2a=0}$

より

$3$\displaystyle{a=0}$

となる．

したがって， $3$\displaystyle{z=bi}$ ，すなわち， $3$\displaystyle{z}$ は純虚数である．

複素数 $3$z$ が純虚数であるための必要十分条件は

$3$\displaystyle{\bar{z}=- z}$

である．

「 $3$\displaystyle{z}$ が純虚数 $3$\Leftrightarrow$ $3$\displaystyle{\bar{z}=- z}$ 」が成り立つ．

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最終更新日： 2025年11月30日