互換

任意の2つの自然数の対応だけ入れ替え，その他の自然数は同じ自然数に対応させる置換のことを主に互換(ごかん)といい，任意の2つの自然数が $3$\displaystyle{i}$ 　と $3$\displaystyle{j}$ 　だとすると，互換は $3$\displaystyle{ $ i,j $ }$ と表す．

例えば４次の置換で互換 $3$\displaystyle{ $ 2,3 $ }$ とは

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&3&4& \vspace{6}\\ 1&3&2&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

の置換のことで

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&3&4& \vspace{6}\\ 1&3&2&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ 2,3 $ }$

となる．

互換は置換の特別な場合であるので置換に掛けることができ，

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&3&4& \vspace{6}\\ 1&2&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ 2,3 $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array}{lll}1&2&3&4& \vspace{6}\\ 1&2&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}{lll}1&2&3&4& \vspace{6}\\ 1&3&2&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array}{lll}1&2&3&4& \vspace{6}\\ 1&3&2&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる．

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&3&4& \vspace{6}\\ 1&3&2&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

は恒等置換に $3$\displaystyle{ $ 2,3 $ }$ を掛け合わせたものである．

一般に，すべての置換は，恒等置換にいくつかの互換を順にかける(互換の積)と得られる．

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最終更新日： 2023年2月9日