置換

1からnまでの各自然数を，同じ1からnまでの自然数のいずれかに1対1に対応させることを置換という．

1，2，3の自然数を用いて置換の説明を詳しくする．1に2を，2に3を，3に1を対応させる置換，すなわち

$3$\displaystyle{ \begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ \downarrow &\downarrow &\downarrow & \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array} }$

のように対応させる置換を

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

と表す．上段に対応させる数字を，下段に上段の数字に対応する数字をかく．

以下の置換

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&3&2& \vspace{6}\\ 2&1&3& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}2&1&3& \vspace{6}\\ 3&2&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}2&3&1& \vspace{6}\\ 3&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}3&1&2& \vspace{6}\\ 1&2&3& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}3&2&1& \vspace{6}\\ 1&3&2& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

はいずれも1に2，2に3，3に1が対応しており同じ置換である．このことを置換の相等という．

式で表すと

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array}1&3&2& \vspace{6}\\ 2&1&3& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array}2&1&3& \vspace{6}\\ 3&2&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array}2&3&1& \vspace{6}\\ 3&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array}3&1&2& \vspace{6}\\ 1&2&3& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array}3&2&1& \vspace{6}\\ 1&3&2& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる．

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最終更新日： 2025年4月22日