置換の積

$3$\displaystyle{A}$ の置換を行った後， $3$\displaystyle{B}$ の置換を行うことを置換の積といいABで表すことにする．
（ただし，写像の合成の考え方からAとBの順番を入れかえてBAと定義している場合も多い）

例えば

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array}{lll}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{ B=\left({\begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&1&3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

の場合

$3$\displaystyle{AB= $ \begin{array}{lll}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}{lll}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&1&3& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

と表す．

置換の積ABによって

1は置換Aにより　 $3$\displaystyle{1\rightarrow 2}$ 　に対応し，置換Bにより　 $3$\displaystyle{2\rightarrow 1}$ 　に対応する．

2は置換Aにより　 $3$\displaystyle{2\rightarrow 3}$ 　に対応し，置換Bにより　 $3$\displaystyle{3\rightarrow 3}$ 　に対応する．

3は置換Aにより　 $3$\displaystyle{3\rightarrow 1}$ 　に対応し，置換Bにより　 $3$\displaystyle{1\rightarrow 2}$ 　に対応する．

すなわち，

$3$\displaystyle{1\rightarrow 1}$ ， $3$\displaystyle{2\rightarrow 3}$ ， $3$\displaystyle{3\rightarrow 2}$ に対応する．

式で表すと，

$3$\displaystyle{ AB }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\left({\begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&1&3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

置換Bの上段の並びを，置換Aの下段の並びに合わせる．(置換の相等)

$3$\displaystyle{= $ \begin{array}{lll}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}{lll}2&3&1& \vspace{6}\\ 1&3&2& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

置換の積ABは上段の式の置換Aの上段を上段に，置換Bの下段を下段に書いたものになる．

$3$\displaystyle{= $ \begin{array}{lll}1&2&3& \vspace{6}\\ 1&3&2& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

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最終更新日： 2025年4月22日