置換の性質

ある置換とその逆置換の $3$\displaystyle{ sgn }$ の値は等しい．すなわち，

$3$\displaystyle{ sgn $ \begin{array}{lll}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \hspace{1}{k}_{1} & \hspace{1}{k}_{2} &\cdots & \hspace{1}{k}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ =sgn $ \begin{array}{lll} \hspace{1}{k}_{1} & \hspace{1}{k}_{2} &\cdots & \hspace{1}{k}_{n} & \vspace{6}\\ 1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

■導出

置換 $3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \hspace{1}{k}_{1} & \hspace{1}{k}_{2} &\cdots & \hspace{1}{k}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ が $3$\displaystyle{i}$ 個の互換の積で表わせるとする．また，置換 $3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll} \hspace{1}{k}_{1} & \hspace{1}{k}_{2} &\cdots & \hspace{1}{k}_{n} & \vspace{6}\\ 1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ が $3$\displaystyle{j}$ 個の互換の積で表わせるとする．上の2つの置換の積は

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{lll}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \hspace{1}{k}_{1} & \hspace{1}{k}_{2} &\cdots & \hspace{1}{k}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}{lll} \hspace{1}{k}_{1} & \hspace{1}{k}_{2} &\cdots & \hspace{1}{k}_{n} & \vspace{6}\\ 1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \begin{array}{lll}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ 1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる．左辺の置換の積は $3$\displaystyle{i+j}$ 個の互換の積で表わされ，右辺の置換は恒等置換(単位置換)であるので偶置換である．よって $3$\displaystyle{i+j}$ は偶数である．したがって， $3$\displaystyle{i}$ が奇数の時， $3$\displaystyle{j}$ も奇数となり

となる． $3$\displaystyle{i}$ が偶数の時， $3$\displaystyle{j}$ も偶数となり

となる．以上より，

が常に成り立つ．

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最終更新日： 2022年10月12日