アフィン変換

1次変換（線形変換）に平行移動を組み合わせた変換をアフィン変換という．

変換前のベクトルを $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ ，変換後のベクトルを $3$\displaystyle{{\mathbb{x}}^{\prime }}$ とすると，アフィン変換は

$3$\displaystyle{ {\mathbb{x}}^{\prime }=A\mathbb{x}+\mathbb{b} }$ ······

と表すことができ，右辺第1項目 $3$\displaystyle{A\mathbb{x}}$ が1次変換に，第2項目 $3$\displaystyle{\mathbb{b}}$ が平行移動に対応する．ここで，正方行列 $3$\displaystyle{A}$ は1次変換の表現行列であり，ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{b}}$ は平行移動する方向と距離を表す．式(1)は，ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ を1次変換した後に $3$\displaystyle{\mathbb{b}}$ だけ平行移動させることを表す．

◆ 同次座標による表現

変換するベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ に，常に $3$\displaystyle{1}$ である仮想的な座標を１つ付け加えることで，アフィン変換を１つの行列の積で統一的に表現できる．具体的には，式(1)に恒等式 $3$\displaystyle{1=1}$ を付け加え

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} {\mathbb{x}}^{\prime }=A\mathbb{x}+\mathbb{b} & \vspace{6}\\ 1=0·\mathbb{x}+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

と書いて，まとめて行列表示すると

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{\mathbb{x}}^{\prime }& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $=$ \begin{array}A&\mathbb{b}& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $$ \begin{array}\mathbb{x}& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ······

と表せる．この仮想的な座標を１つ付け加えた座標 $3$\displaystyle{$ \begin{array}\mathbb{x}& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $}$ のことを同次座標という．同次座標を導入することで1次変換と平行移動が１つの行列 $3$\displaystyle{M=$ \begin{array}A&\mathbb{b}& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $}$ の積として表現できるため，計算が簡潔になる．例えば，アフィン変換を繰り返し $3$\displaystyle{k}$ 回行う場合，それらの表現行列を $3$\displaystyle{\hspace{1}{M}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{M}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\cdots }$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{M}_{k}}$ とすると，1次変換の場合と同様の表記

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{\mathbb{x}}^{\prime }& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $=\hspace{1}{M}_{k}\cdots \hspace{1}{M}_{2}\hspace{1}{M}_{1}$ \begin{array}\mathbb{x}& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ······

で変換後のベクトル $3$\displaystyle{{\mathbb{x}}^{\prime }}$ が求まる．

■ 座標平面（2次元ベクトル空間）の場合

点 $3$\displaystyle{P$x,y$}$ を $3$\displaystyle{{P}^{\prime }${x}^{\prime },{y}^{\prime }$}$ に移すアフィン変換は

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} {x}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 11 }x+\hspace{1}{a}_{ 12 }y+\hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ {y}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 21 }x+\hspace{1}{a}_{ 22 }y+\hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ······

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{x}^{\prime }& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }& \vspace{6}\\ \end{array} $=$ \begin{array}\hspace{1}{a}_{ 11 }&\hspace{1}{a}_{ 12 }& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 }&\hspace{1}{a}_{ 22 }& \vspace{6}\\ \end{array} $$ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} $+$ \begin{array}\hspace{1}{b}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ······

と表される．同次座標を用いると

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{x}^{\prime }& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $=$ \begin{array}\hspace{1}{a}_{ 11 }&\hspace{1}{a}_{ 12 }&\hspace{1}{b}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 }&\hspace{1}{a}_{ 22 }&\hspace{1}{b}_{2}& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $$ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ······

と表される．

■ 座標空間（3次元ベクトル空間）の場合

点 $3$\displaystyle{P$x,y,z$}$ を点 $3$\displaystyle{{P}^{\prime }${x}^{\prime },{y}^{\prime },{z}^{\prime }$}$ に移すアフィン変換は

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array}{x}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 11 }x+\hspace{1}{a}_{ 12 }y+\hspace{1}{a}_{ 13 }z+\hspace{1}{b}_{1}& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 21 }x+\hspace{1}{a}_{ 22 }y+\hspace{1}{a}_{ 23 }z+\hspace{1}{b}_{2}& \vspace{6}\\ {z}^{\prime }=\hspace{1}{a}_{ 31 }x+\hspace{1}{a}_{ 32 }y+\hspace{1}{a}_{ 33 }z+\hspace{1}{b}_{3}& \vspace{6}\\ \end{array} }$ ······

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{x}^{\prime }& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }& \vspace{6}\\ {z}^{\prime }& \vspace{6}\\ \end{array} $=$ \begin{array}\hspace{1}{a}_{ 11 }&\hspace{1}{a}_{ 12 }&\hspace{1}{a}_{ 13 }& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 }&\hspace{1}{a}_{ 22 }&\hspace{1}{a}_{ 23 }& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 }&\hspace{1}{a}_{ 32 }&\hspace{1}{a}_{ 33 }& \vspace{6}\\ \end{array} $$ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} $+$ \begin{array}\hspace{1}{b}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{3}& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ······

と表される．同次座標を用いると

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}{x}^{\prime }& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }& \vspace{6}\\ {z}^{\prime }& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $=$ \begin{array}\hspace{1}{a}_{ 11 }&\hspace{1}{a}_{ 12 }&\hspace{1}{a}_{ 13 }&\hspace{1}{b}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 }&\hspace{1}{a}_{ 22 }&\hspace{1}{a}_{ 23 }&\hspace{1}{b}_{2}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 }&\hspace{1}{a}_{ 32 }&\hspace{1}{a}_{ 33 }&\hspace{1}{b}_{3}& \vspace{6}\\ 0&0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $$ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ······

と表される．

幾何学的には，1次変換は原点を固定したまま図形を変形させる変換で，

拡大・縮小：原点を基準として図形のサイズを変える
回転：図形を原点の周りで回転させる
せん断（スキュー）：図形の四角形領域を平行四辺形に変形する
鏡映：原点を通る軸に関して図形を反転させる

などがあり，アフィン変換はこれらに平行移動（図形の形や向きを変えずに位置をずらす）を加えた，より広範囲な変換となる．そのため，アフィン変換は，コンピュータグラフィックス，画像処理，地理情報システムなどの様々な分野で広く利用されている．

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最終更新日：2025年10月21日