内積(n次元ベクトル)

$3$\displaystyle{n}$ 次元列ベクトル

$3$\displaystyle{\displaystyle{a}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\displaystyle{b}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

において

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\cdots \hspace{1}{a}_{n}\hspace{1}{b}_{n}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}\hspace{1}{b}_{i} }}$

となる値を， $3$\displaystyle{\displaystyle{a}}$ ， $3$\displaystyle{\displaystyle{b}}$ の内積と定義し

$3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}}$

で表す．すなわち

$3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{i}\hspace{1}{b}_{i} }}$ 　･･････(1)

となる．内積の計算を行列の計算表現を使うと

$3$\displaystyle{ \displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}=\hspace{1}{}_{}^{}\displaystyle{a}_{}^{}t \displaystyle{b}}$ $3$\displaystyle{ =\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{1} & \hspace{1}{a}_{2} &\cdots & \hspace{1}{a}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

となる．

また，行ベクトルでも列ベクトルと同様に内積は(1)で定義される．

内積については次の法則が成り立つ．

(i) $3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b}=\displaystyle{b}\cdot \displaystyle{a}}$

(ii) $3$\displaystyle{\left({ \displaystyle{a}+\displaystyle{b} }\right)\cdot \displaystyle{c}=\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{c}+\displaystyle{b}\cdot \displaystyle{c}}$

(iii) $3$\displaystyle{\left({ k\displaystyle{a} }\right)\cdot \displaystyle{b}=\displaystyle{a}\cdot \left({ k\displaystyle{b} }\right)=k\left({ \displaystyle{a}\cdot \displaystyle{b} }\right)}$

(iv) $3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{a}\geq 0}$ ，特に， $3$\displaystyle{\displaystyle{a}\cdot \displaystyle{a}=0\Leftrightarrow \displaystyle{a}=\displaystyle{0}}$

高校で学んだ内積を参照

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最終更新日：2022年9月3日