行列式の次数下げ　その2

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots & &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \hspace{1}{c}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \hspace{1}{c}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ mn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ mn } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| \cdot \| \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ 　･･････(1)

の関係が成り立つ．

■導出

$3$\displaystyle{A= \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ ，

$3$\displaystyle{n}$ 次の正方行列
$3$\displaystyle{B= \| \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ ，

$3$\displaystyle{m}$ 次の正方行列
$3$\displaystyle{C= \| \begin{array} \hspace{1}{c}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ mn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{\left[{ m,n }\right]}$ 型行列

とおくと(1)は

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}O&A& \vspace{6}\\ B&C& \vspace{6}\\ \end{array} \| ={ $ - 1 $ }^{ mn } \|A\| \cdot \|B\| }$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{n=1}$ の時，(1)の左辺は

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \hspace{1}{c}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \hspace{1}{c}_{ m1 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ 　･･････(3)

となる．

(3)を1行で展開すると

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+1 } \| \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ m\times 1 }\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ 　･･････(4)

(∵ $3$\displaystyle{ { $ - 1 $ }^{ 1+m+1 }={ $ - 1 $ }^{ m+2 } }$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{m}\cdot { $ - 1 $ }^{2}}$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{m}}$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ m\times 1 }}$ )

となり(1)が成り立つ．

$3$\displaystyle{n=k- 1}$ の時，(1)が成り立つと仮定する.

すなわち

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}{lll}0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1k- 1 } & \vspace{6}\\ \vdots & &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ k- 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ k- 1k- 1 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \hspace{1}{c}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ 1k- 1 } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \hspace{1}{c}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ mk- 1 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| \displaystyle{}}$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ m $ k- 1 $ } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1k- 1 } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ k- 1k- 1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ k- 1k } & \vspace{6}\\ \end{array} \| \cdot \| \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ m $ k- 1 $ } \|{A}^{\prime }\| \|B\| }$ 　･･････(5)

(ただし， $3$\displaystyle{{A}^{\prime }}$ は $3$\displaystyle{k- 1}$ 次の行列 )

(5)が成り立つと仮定する．

$3$\displaystyle{n=k}$ の時(1)の左辺は

$3$$ 0 ⋯ 0 a 11 ⋯ a 1k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 a k1 ⋯ a kk b 11 ⋯ b 1m c 11 ⋯ c 1k ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ b m1 ⋯ b mm c m1 ⋯ c mk 　･･････(6)

となる．(6)を1行で展開すると

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+1 } \| \begin{array}0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ kk } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \hspace{1}{c}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ 1k } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots & & & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \hspace{1}{c}_{ m2 } & & \hspace{1}{c}_{ mk } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 12 }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+2 } \| \begin{array}0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2k } & \vspace{6}\\ \vdots & &\vdots &\vdots & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ k1 } & \hspace{1}{a}_{ n3 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ kk } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \hspace{1}{c}_{ 11 } & \hspace{1}{c}_{ 13 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ 1k } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & & & & & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \hspace{1}{c}_{ m1 } & \hspace{1}{c}_{ m3 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ mk } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{+\cdots +\hspace{1}{a}_{ 1k }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+k } \| \begin{array}0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2k- 1 } & \vspace{6}\\ \vdots & &\vdots &\vdots &\ddots & & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ k1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ kk- 1 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \hspace{1}{c}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ 1k- 1 } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \hspace{1}{c}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ mk- 1 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ 　･･････(7)

となる． $3$\displaystyle{A}$ の1行と $3$\displaystyle{i}}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{10}$ 列を除いた行列を $3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{ 1i }}$ ， $3$\displaystyle{C}}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{10}$ の $3$\displaystyle{i}}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{10}$ 列を除いた行列を $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{i}}$ と表わすことにすると，(7)は

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+1 } \| \begin{array}O& \hspace{1}{A}_{ 11 } & \vspace{6}\\ B& \hspace{1}{C}_{1} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 12 }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+2 } \| \begin{array}O& \hspace{1}{A}_{ 12 } & \vspace{6}\\ B& \hspace{1}{C}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| +\cdots }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{ 1k }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+k } \| \begin{array}O& \hspace{1}{A}_{ 1k } & \vspace{6}\\ B& \hspace{1}{C}_{k} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{k} \hspace{1}{a}_{ 1i }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+i } \| \begin{array}O& \hspace{1}{A}_{ 1i } & \vspace{6}\\ B& \hspace{1}{C}_{i} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }}$ 　･･････(8)

となる．

(8)に含まれる $3$\displaystyle{ \| \begin{array}O& \hspace{1}{A}_{ 1i } & \vspace{6}\\ B& \hspace{1}{C}_{i} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

は(5)より

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}O& \hspace{1}{A}_{ 1i } & \vspace{6}\\ B& \hspace{1}{C}_{i} & \vspace{6}\\ \end{array} \| ={ $ - 1 $ }^{ m $ k- 1 $ } \| \hspace{1}{A}_{ 1i } \| \cdot \|B\| }$ 　･･････(9)

となる．(9)を(8)に代入すると

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{k} \hspace{1}{a}_{ 1i }\times { $ - 1 $ }^{ 1+m+i } }\times { $ - 1 $ }^{ m $ k- 1 $ } \| \hspace{1}{A}_{ 1i } \| \cdot \|B\| }$ 　･･････(10)

となる．

$3$\displaystyle{ \|A\| }$ を1行で展開すると

$3$\displaystyle{ \|A\| }$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{k} \hspace{1}{a}_{ 1i }\times }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 1i }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{k} \hspace{1}{a}_{ 1i }\times }{ $ - 1 $ }^{ 1+i } \| \hspace{1}{A}_{ 1i } \| }$ 　･･････(11)

となる．(11)を(10)に代入すると

$3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{m}\times { $ - 1 $ }^{ m $ k- 1 $ } \|A\| \cdot \|B\| }$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ mk } \|A\| \cdot \|B\| }$ 　･･････(12)

よって

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ kk } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \hspace{1}{c}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ 1k } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \hspace{1}{c}_{ m2 } &\cdots & \hspace{1}{c}_{ mk } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ mk } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1k } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ k1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ kk } & \vspace{6}\\ \end{array} \| \cdot \| \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ 1m } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ m1 } &\cdots & \hspace{1}{b}_{ mm } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

が導かれ， $3$\displaystyle{n=k- 1}$ の時(1)が成り立つと仮定すると $3$\displaystyle{n=k}$ の時も(1)式が成り立つ．

以上より，数学的帰納法より，すべての $3$\displaystyle{n}$ で(1)は成り立つ．

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最終更新日： 2025年4月25日

行列式の次数下げ その2

■導出

行列式の次数下げ　その2