次数下げの計算

ここでは，行列式の次数を下げる場合に使われる定理について説明する．

・(1,1)成分を除く，第1行の成分が0の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &0&\cdots &0& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

・(1,1)成分を除く，第1列の成分が0の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

どちらの場合でも $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{ 11 } }$ 成分を行列の外に出すと，
　
元の行列は $3$\displaystyle{n}$ 次の正方行列から $3$\displaystyle{ n- 1 }$ 次の正方行列となる．

次数下げの計算を利用することにより，4次以上の行列を3次，2次に次数を下げて計算することができる．

⇒証明へ

行列の次数下げに利用する他の定理その1，その2

■具体例

例1

(1,1)成分を除く，第1行の成分が0であった場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}5&0&0&0&0& \vspace{6}\\ 6&7&8&9& 10 & \vspace{6}\\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \vspace{6}\\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{=5 \| \begin{array}7&8&9& 10 & \vspace{6}\\ 12 & 13 & 14 & 15 & \vspace{6}\\ 17 & 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 22 & 23 & 24 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

例2

(1,1)成分を除く，第1列の成分が0であった場合（例1の行列式とは無関係である）

$3$\displaystyle{5 \| \begin{array}7&8&9& 10 & \vspace{6}\\ 0& 13 & 14 & 15 & \vspace{6}\\ 0& 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 0& 23 & 24 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{=5\times 7 \| \begin{array} 13 & 14 & 15 & \vspace{6}\\ 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 23 & 24 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{=35 \| \begin{array} 13 & 14 & 15 & \vspace{6}\\ 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 23 & 24 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

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最終更新日： 2025年1月17日