次数下げの計算の証明

1行目において， $3$\displaystyle{ $ 1,1 $ }$ 成分以外の成分が全て0の場合( $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 11 }\neq 0}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 12 }=\hspace{1}{a}_{ 13 }=\cdots =\hspace{1}{a}_{ 1n }=0}$ )，行列式の定義より，

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &0&\cdots &0& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{n} sgn $ \begin{array}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \hspace{1}{i}_{1} & \hspace{1}{i}_{2} &\cdots & \hspace{1}{i}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }\hspace{1}{a}_{ 1\hspace{1}{i}_{1} }\hspace{1}{a}_{ 2\hspace{1}{i}_{2} }\cdots \hspace{1}{a}_{ n\hspace{1}{i}_{n} } }$

と表される．，行列式の項の中で， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 12 }}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 13 }}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 1n }}$ を含む項は全て $3$\displaystyle{0}$ となる．よって，

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{n} sgn } $ \begin{array}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ 1& \hspace{1}{i}_{2} &\cdots & \hspace{1}{i}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 2\hspace{1}{i}_{2} }\cdots \hspace{1}{a}_{ n\hspace{1}{i}_{n} } }$

となる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{i}_{2},\hspace{1}{i}_{3},\cdots ,\hspace{1}{i}_{n}}$ は $3$\displaystyle{2}$ から $3$\displaystyle{n}$ の間の整数で重複しない．置換の下段左端が $3$\displaystyle{1}$ になっていることに注意する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 11 }}$ が全ての項の共通因数になるのでくくりだすことができる．よって，

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\displaystyle{{\sum }\limits_{n} sgn } $ \begin{array}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ 1& \hspace{1}{i}_{2} &\cdots & \hspace{1}{i}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ \hspace{1}{a}_{ 2\hspace{1}{i}_{2} }\cdots \hspace{1}{a}_{ n\hspace{1}{i}_{n} }}$

となる．置換の左端の対が $3$\displaystyle{ 1\rightarrow 1 }$ で変化しないので，

$3$\displaystyle{sgn $ \begin{array}1&2&\cdots &n& \vspace{6}\\ 1& \hspace{1}{i}_{2} &\cdots & \hspace{1}{i}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ =sgn $ \begin{array}2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \hspace{1}{i}_{2} &\cdots & \hspace{1}{i}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

が成り立つ．よって，

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\displaystyle{{\sum }\limits_{n} sgn } $ \begin{array}2&\cdots &n& \vspace{6}\\ \hspace{1}{i}_{2} &\cdots & \hspace{1}{i}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} $ \hspace{1}{a}_{ 2\hspace{1}{i}_{2} }\cdots \hspace{1}{a}_{ n\hspace{1}{i}_{n} }}$

となる．行列式の定義より，

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 3n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

となる．

以上より，

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &0&\cdots &0& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 32 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 3n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ ……(1)

が成り立つ．

また，1列目において， $3$\displaystyle{ $ 1,1 $ }$ 成分以外の成分が全て0の場合( $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 11 }\neq 0}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 21 }=\hspace{1}{a}_{ 31 }=\cdots =\hspace{1}{a}_{ n1 }=0}$ )， $3$\displaystyle{ \|A\| = \| { }^{t}A \| }$ より，

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ = \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &0&\cdots &0& \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ n2 } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 1n } & \hspace{1}{a}_{ 2n } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

となる．上記(1)より

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ n2 } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 2n } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

となる． $3$\displaystyle{ \|A\| = \| { }^{t}A \| }$ より

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

となる．したがって，

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{ 11 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ ……(2)

が成り立つ．

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最終更新日： 2023年7月10日