2元1次連立方程式の解についての平面座標を用いた考察

2元1次連立方程式　　

$3$\displaystyle{\left{{ \begin{array}{lll} \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{x}_{2}=\hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{x}_{2}=\hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }$ 　･･････(1)

を行列を使って表わすと

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}{lll} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}{lll} \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 　･･････(2)

となる．また係数行列 $3$\displaystyle{\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ の列ベクトル $3$\displaystyle{\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ を使って表わすと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ 1 }\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)+\hspace{1}{x}_{ 2 }\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}{lll} \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 　･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\displaystyle{b}=\left({ \begin{array}{lll} \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

とおくと，(3)は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ 1 }\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}+\hspace{1}{x}_{ 2 }\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}=\displaystyle{b}}$ 　･･････(4)

と表わされる．(4)の関係を $3$\displaystyle{xy}$ 平面において幾何学的に表現すると下図のようになる：

（ $3$\displaystyle{ { \text{OD} }\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{\mathbb{a}}_{1} }$ , $3$\displaystyle{ { \text{OH} }\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2} }$ , $3$\displaystyle{ { \text{OF} }\limits^{\rightarrow }=\mathbb{b} }$ より，(4)は $3$\displaystyle{ { \text{OD} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OH} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OF} }\limits^{\rightarrow } }$ と表現される．）

この図より
    ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}}$ を2辺とする平行四辺形 $3$\displaystyle{\text{OABC}}$ の面積を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{0}}$ ，
    ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{\mathbb{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}}$ を2辺とする平行四辺形 $3$\displaystyle{\text{ODEC}}$ の面積を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ x1 }}$ ，
    ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}}$ を2辺とする平行四辺形 $3$\displaystyle{\text{OAGH}}$ の面積を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ x2 }}$ ，
    ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{b}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}}$ を2辺とする平行四辺形 $3$\displaystyle{\text{OFJC}}$ の面積を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{1}}$ ，
    ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\mathbb{b}}$ を2辺とする平行四辺形 $3$\displaystyle{\text{OAIF}}$ の面積を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{2}}$ ，
と定めると，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{ x1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{0} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{ x2 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{0} \hspace{2}}}$

である．ここで

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ x1 }=\hspace{1}{S}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ x2 }=\hspace{1}{S}_{2}}$

であるので

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{0} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{0} \hspace{2}}}$

となる．よって， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ は面積比となっている．

平行四辺形の面積は行列式を使って求めることができ（※），

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{0}=\left|{ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} & \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|=\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{1}=\left|{ \begin{array}\displaystyle{b}& \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|=\left|{ \begin{array} \hspace{1}{b}_{1} & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{2}=\left|{ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} &\displaystyle{b}& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|=\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

となる．したがって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}=\frac{\hspace{2} \left|{ \begin{array} \hspace{1}{b}_{1} & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{2} & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}=\frac{\hspace{2} \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{b}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{b}_{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| \hspace{2}}}$

が得られる．これらの解を表わす式はクラメルの公式になっている．

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最終更新日： 2023年12月4日