2次の行列式の幾何学的な意味

2次の行列式の場合

行列式 $3$\displaystyle{\left|{A}\right|=\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$ の1列目と2列目を，それぞれ列ベクトルとして

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

とおくと， $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の絶対値は平面ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ を2辺とする平行四辺形の面積の値に等しい．

■導出

とおく．

$3$\displaystyle{\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }- \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 21 }=\hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }+\hspace{1}{a}_{ 21 }\left({ - \hspace{1}{a}_{ 12 } }\right)}$

であるので，

$3$\displaystyle{{\hspace{1}{\mathbb{a}}_{2}}^{\prime }=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

とおくと，

となり，この行列式は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ の内積で表わされる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ と $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ の関係を行列を使って表わす．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 22 }=0\cdot \hspace{1}{a}_{ 12 }+1\cdot \hspace{1}{a}_{ 22 }}$

$3$\displaystyle{- \hspace{1}{a}_{ 12 }=- 1\cdot \hspace{1}{a}_{ 12 }+0\cdot \hspace{1}{a}_{ 22 }}$

より

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ - \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} 0\cdot \hspace{1}{a}_{ 12 }+1\cdot \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ - 1\cdot \hspace{1}{a}_{ 12 }+0\cdot \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array}0&1& \vspace{6}\\ - 1 &0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} \cos \left({ - { 90 }^{^\circ } }\right) & - \sin \left({ - { 90 }^{^\circ } }\right) & \vspace{6}\\ \sin \left({ - { 90 }^{^\circ } }\right) & \cos \left({ - { 90 }^{^\circ } }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となる．

行列 $3$\displaystyle{ $ \begin{array} \cos \( - { 90 }^{^\circ } $ & - \sin $ - { 90 }^{^\circ } $ & \vspace{6}\\ \sin $ - { 90 }^{^\circ } $ & \cos $ - { 90 }^{^\circ } $ & \vspace{6}\\ \end{array} \) }$ は原点を中心に $3$\displaystyle{- {90}^{^\circ }}$ 反時計回り，（ $3$\displaystyle{{90}^{^\circ }}$ 時計回り）に回転させる回転行列である．

すなわち $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ の始点を回転の中心として時計回りに $3$\displaystyle{{90}^{^\circ }}$ 回転させたベクトルになる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ を座標平面に描くと図のようになる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ を原点を中心を反時計回りに回転させ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ 重ねた時の回転角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とすると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ のなす角は $3$\displaystyle{\left|{{\theta}}\right|}$ （ただし， $3$\displaystyle{- 180^\circ \leq {\theta}\leq 180^\circ }$ ）となる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ のなす角は， $3$\displaystyle{- 90^\circ \leq {\theta}\leq 180^\circ }$ の時， $3$\displaystyle{ \left|{ {\theta}- 90^\circ }\right| }$ ， $3$\displaystyle{- 180^\circ \leq {\theta}< - 90^\circ }$ の時， $3$\displaystyle{\left|{ {\theta}+270^\circ }\right|}$ となる．

● $3$\displaystyle{- 90^\circ \leq {\theta}\leq 180^\circ }$ で $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ のなす角が $3$\displaystyle{ \left|{ {\theta}- 90^\circ }\right| }$ の場合

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \cos $ \left|{ {\theta}- 90^\circ }\right| $ }$

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \cos $ {\theta}- 90^\circ $ }$

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \sin {\theta}}$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| = \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\| }$ ， $3$\displaystyle{\cos \left({ { 90 }^{^\circ }- {\theta} }\right)=\cos \left({ {\theta}- { 90 }^{^\circ } }\right)=\sin {\theta}}$ 　⇒ここを参照）

$3$\displaystyle{= \|\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}} }$ |( | a 2 |sin⁡θ ) 　･･････(1)

● $3$\displaystyle{- 180^\circ \leq {\theta}< - 90^\circ }$ で $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ のなす角が $3$\displaystyle{\left|{ {\theta}+270^\circ }\right|}$ の場合

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \cos $ \left|{ {\theta}+270^\circ }\right| $ }$

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \cos $ {\theta}+270^\circ $ }$

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \cos $ {\theta}+360^\circ - 90^\circ $ }$

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \cos $ {\theta}- 90^\circ $ }$

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| \|{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }\| \sin {\theta}}$

$3$\displaystyle{= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| $ \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\| \sin {\theta} $ }$ 　･･････(2)

(1)，(2)より，いずれの場合も

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\cdot \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}= \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| $ \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\| \sin {\theta} $ }$

となる．

$3$\displaystyle{ \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\| $ \|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\| \sin {\theta} $ }$ の絶対値は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ を2辺とする平行四辺形の面積の値に等しい．

すなわち $3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&c& \vspace{6}\\ b&d& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ の絶対値は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ を2辺とする平行四辺形の面積の値に等しい．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&c& \vspace{6}\\ b&d& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ の符号は

$3$\displaystyle{0^\circ \leq {\theta}\leq 180^\circ \Rightarrow \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{- 180^\circ \leq {\theta}< 0^\circ \Rightarrow \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|< 0}$

となる．

※ 補足

2つの空間ベクトルの外積の大きさが，その2つのベクトルを2辺とする平行四辺形の面積の値に等しいことを知っていれば， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}$ を空間ベクトル

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ 0 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ 0 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

とおくことにより，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}=\left({ \begin{array} 0 & \vspace{6}\\ 0 & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }- \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となり，平行四辺形の面積の値が

$3$\displaystyle{\|\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}\times \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}\|=\|\hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 22 }- \hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 21 }\|}$

であることが分かる．

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最終更新日： 2025年4月22日

2次の行列式の幾何学的な意味

■導出

●でとのなす角がの場合

●でとのなす角が の場合

● $3$\displaystyle{- 90^\circ \leq {\theta}\leq 180^\circ }$ で $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ のなす角が $3$\displaystyle{ \left|{ {\theta}- 90^\circ }\right| }$ の場合

● $3$\displaystyle{- 180^\circ \leq {\theta}< - 90^\circ }$ で $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{{\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2}}^{\prime }}$ のなす角が $3$\displaystyle{\left|{ {\theta}+270^\circ }\right|}$ の場合