直交変換

1次変換（線形変換）の表現行列が直交行列 $3$\displaystyle{P}$ である変換を直交変換という．

直交変換は，ベクトルの内積を保つ性質をもつ．つまり，ある2つのベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{u}}$ , $3$\displaystyle{\mathbb{v}}$ を直交変換したベクトル $3$\displaystyle{P\mathbb{u}}$ , $3$\displaystyle{P\mathbb{v}}$ の内積 $3$\displaystyle{P\mathbb{u}·P\mathbb{v}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
は，元の2つのベクトルの内積 $3$\displaystyle{\mathbb{u}·\mathbb{v}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
に等しい：

$3$\displaystyle{ P\mathbb{u}·P\mathbb{v}=\hspace{1}{}_{0}^{1}\left({ P\mathbb{u} }\right)_{}^{} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

ここで，直交行列の性質 $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}}$ を用いた．この内積を保つ性質により，直交変換はベクトルの長さや2つのベクトルの間の角度を変化させない．また，直交変換は正則（可逆）であり，逆変換も直交変換である．

2次元平面や3次元空間において，直交変換は，回転移動，軸や原点に関する対称移動，またはその組み合わせとして理解できる．例えば，2次元の回転行列 $3$\displaystyle{ R$θ$= $\begin{array} \cos θ & - \sin θ & \vspace{6}\\ \sin θ & \cos θ & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 による変換は，ベクトルの長さも2つのベクトルの間の角度も保つ直交変換である．

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最終更新日：2025年10月14日