2次形式

$3$\displaystyle{n}$ 個の変数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\cdots }$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ から成る2次の項のみで構成される（1次の項や定数項の無い）多項式

$3$\displaystyle{ q$\hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdots ,\hspace{1}{x}_{n}$=\hspace{1}{a}_{ 11 }x_{1}^{2}+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{x}_{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{ n- 1\text{ }n }\hspace{1}{x}_{ n- 1 }\hspace{1}{x}_{n}+\hspace{1}{a}_{ nn }x_{n}^{2} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ ={\sum }\limits_{ i,j=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{ ij }\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{x}_{j} }$ ······ (1)

を 2次形式という．ここで， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ は実数係数とする．

式(1)において， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{j}\hspace{1}{x}_{i}=\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{x}_{j}}$ なので， $3$\displaystyle{ $\hspace{1}{a}_{ ij }+\hspace{1}{a}_{ ji }$ /2}$ を改めて $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ とおくことで， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }=\hspace{1}{a}_{ ji }}$ とできる．2次形式の例を挙げると

2変数： $3$\displaystyle{ q$x,y$=a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2} }$ ······ (2)

3変数： $3$\displaystyle{ q$x,y,z$=a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2}+2dyz+e{z}^{2}+2fzx }$ ······ (3)

などである．

■ 2次形式の行列表示

式(1)の係数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ を成分とする対称行列 $3$\displaystyle{A}$ ，変数を成分とする列ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$

$3$\displaystyle{ A=\left({ \hspace{1}{a}_{ ij } }\right)=\left({ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ $3$\displaystyle{ $\hspace{1}{a}_{ ij }=\hspace{1}{a}_{ ji }$ }$ , $3$\displaystyle{ \mathbb{x}=\left({ \begin{array} \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{1} & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{x}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ ······ (4)

を用いて，式(1)を

$3$\displaystyle{ q$\hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdots ,\hspace{1}{x}_{n}$=\hspace{1}{}_{5}^{6}\mathbb{x}2_{3}^{4} }$ ······ (5)

と表せる．式(2)，式(3)の場合

式(2) ⇒ $3$\displaystyle{ q$x,y$=\left({ \begin{array}x&y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ b&c& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ ······ (6)

式(3) ⇒ $3$\displaystyle{ q$x,y,z$=\left({ \begin{array}x&y&z& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}a&b&f& \vspace{6}\\ b&c&d& \vspace{6}\\ f&d&e& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ ······ (7)

となる．対称行列は適当な直交行列により対角化できるので， $3$\displaystyle{A}$ を対角化する直交行列 $3$\displaystyle{P}$ による $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ の直交変換で，式(1)を変数の2乗の項のみで構成される式に変換できる（2次形式の標準化）．

■ 2次形式の微分

式(1)を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{k}}$ で偏微分すると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }=\hspace{1}{a}_{ ji }}$ より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}q \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}\hspace{1}{x}_{k} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}\hspace{1}{x}_{k} \hspace{2}}{\sum }\limits_{ i,j=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{ ij }\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{x}_{j} }$ $3$\displaystyle{ ={\sum }\limits_{ i=1n }^{ \hspace{1}{a}_{ ik }\hspace{1}{x}_{i} +{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}} }$ $3$\displaystyle{ =2{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{ ki }\hspace{1}{x}_{i} }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{ \left({ 2A\mathbb{x} }\right) }_{k} }$ ······ (8)

となる．ここで，最右辺はベクトル $3$\displaystyle{2A\mathbb{x}}$ の $3$\displaystyle{k}$ 番目の成分を表す．したがって，

$3$\displaystyle{ \nabla q=\text{grad}q=2A\mathbb{x} }$ ······ (9)

が成り立つ．演算子 $3$\displaystyle{\nabla }$ はナブラであり，上式はスカラー量 $3$\displaystyle{q}$ の勾配 (grad) ベクトルを表す．

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最終更新日：2025年10月7日