2次形式の標準化

$3$\displaystyle{n}$ 個の変数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\cdots }$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ と実定数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ ( $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ ji }}$ ) から成る2次形式

$3$\displaystyle{ q$\hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdots ,\hspace{1}{x}_{n}$={\sum }\limits_{ i,j=1 }^{n} \hspace{1}{a}_{ ij }\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{x}_{j} =\hspace{1}{}_{8}^{9}\mathbb{x}5_{6}^{7} }$ ······ (1)

を考える． $3$\displaystyle{A=\left({ \hspace{1}{a}_{ ij } }\right)}$ は係数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ を成分とする対称行列で， $3$\displaystyle{\mathbb{x}=\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$ は変数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{i}}$ を成分とする列ベクトルである．

今，式(1)は異なる2つの変数の積 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{x}_{j}}$ ( $3$\displaystyle{i\neq j}$ ) の項を含むものとする（ $3$\displaystyle{A}$ はゼロでない非対角成分をもつ）．

実対称行列の性質より， $3$\displaystyle{A}$ の固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\cdots }$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{n}}$ はすべて実数であり，対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\cdots }$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{n}}$ （大きさ $3$\displaystyle{1}$ に正規化されている）を各列に並べた直交行列 $3$\displaystyle{P=\left({ \begin{array}\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}&\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}&\cdots &\hspace{1}{\mathbb{p}}_{n}& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ を用いて， $3$\displaystyle{A}$ は以下のように対角化できる．

$3$\displaystyle{ D=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} }$ ······ (2)

したがって， $3$\displaystyle{\mathbb{x}}$ の直交変換

$3$\displaystyle{ \mathbb{X}=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{}_{}^{}\left({ \begin{array}\hspace{1}{X}_{1}&\hspace{1}{X}_{2}&\cdots &\hspace{1}{X}_{n}& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)_{}^{} }$ ······ (3)

と式(2)を用いて，式(1)の2次形式を変数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\cdots }$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ で書き直すと

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{x}_{}^{} }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{X}_{}^{} }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{X}_{}^{} }$ $3$\displaystyle{ ={\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{λ}_{i}X_{i}^{2} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······ (4)

となる．式(4)の最右辺の形を 2次形式の標準形という．

直交変換は内積を変えない変換である．幾何学的には，直交変換はベクトルの大きさや2つのベクトルのなす角を変えない変換となっており，回転移動や各軸・原点に対する対称移動に相当する．つまり，2次形式を標準形に直すことで，その式の本質的な性質（幾何学的な図形の形）を変えずに見通しの良い形になり，その式の特徴が分かり易くなるため，2次式の分類などに用いられる．

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最終更新日：2025年10月7日