$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{} $ AB $ \hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}B\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}A\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$ の証明

$3$\displaystyle{l\times m}$ 行列 $3$\displaystyle{A= $ \hspace{1}{a}_{ ij } $ }$ と $3$\displaystyle{m\times n}$ 行列 $3$\displaystyle{B= $ \hspace{1}{b}_{ jk } $ }$ の行列の積を行列 $3$\displaystyle{F= $ \hspace{1}{f}_{ ik } $ }$ とする．

すなわち

$3$\displaystyle{AB=F}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ ik }={\sum }\limits_{ h=1 }^{m} \hspace{1}{a}_{ ih }\hspace{1}{b}_{ hk } }$ ･･････(1)

となる．また行列 $3$\displaystyle{A= $ \hspace{1}{a}_{ ij } $ }$ の転置行列を行列 $3$\displaystyle{C= $ \hspace{1}{c}_{ ji } $ }$ ，行列 $3$\displaystyle{B= $ \hspace{1}{b}_{ jk } $ }$ の転置行列を $3$\displaystyle{D= $ \hspace{1}{d}_{ kj } $ }$ ，行列 $3$\displaystyle{F= $ \hspace{1}{f}_{ ik } $ }$ の転置行列を $3$\displaystyle{G= $ \hspace{1}{g}_{ ki } $ }$ とする．

すなわち

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ ji }=\hspace{1}{a}_{ ji }}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{d}_{ kj }=\hspace{1}{b}_{ jk }}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{g}_{ ki }=\hspace{1}{f}_{ ik }}$ ･･････(4)

とする．

以上のように定めると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{} $ AB $ \hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}F\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$

$3$\displaystyle{ =G }$ ･･････(5)

また

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}B\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}A\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=DC$

行列の積の行列の積の定義より

$3$\displaystyle{= $ {\sum }\limits_{ h=1 }^{m} \hspace{1}{d}_{ kh }\hspace{1}{c}_{ hi } $ }$

(2)，(3)より

$3$\displaystyle{= $ {\sum }\limits_{ k=1 }^{m} \hspace{1}{b}_{ hk }\hspace{1}{a}_{ ih } $ }$

積は交換方法則が成り立つので $3$\displaystyle{\hspace{1}{b}_{ hk }\hspace{1}{a}_{ ih }=\hspace{1}{a}_{ ih }\hspace{1}{b}_{ hk }}$ となる．よって

$3$\displaystyle{= $ {\sum }\limits_{ k=1 }^{m} \hspace{1}{a}_{ ih }\hspace{1}{b}_{ hk } $ }$

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{m} \hspace{1}{a}_{ ih }\hspace{1}{b}_{ hk } =\hspace{1}{f}_{ ik }=\hspace{1}{g}_{ ki }}}$ より

$3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{g}_{ ki } $ }$

$3$\displaystyle{ =G }$ ･･････(6)

が導かれる．

(5)，(6)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{} $ AB $ \hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}B\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}A\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$

が成り立つ．

■具体例

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{B= $ \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } & \hspace{1}{b}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 21 } & \hspace{1}{b}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ とする．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{} $ AB $ \hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{} $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{b}_{ 11 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{b}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{b}_{ 12 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{b}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{b}_{ 11 }+\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{b}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{b}_{ 12 }+\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{b}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ \hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$

$3$\displaystyle{= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{b}_{ 11 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{b}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{b}_{ 11 }+\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{b}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{b}_{ 12 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{b}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{b}_{ 12 }+\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{b}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ･･････(7)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}B\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}A\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{$ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $} $ \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } & \hspace{1}{b}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 21 } & \hspace{1}{b}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ \hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}\hspace{1}{}_{}^{} t_{}^{}t$

$3$\displaystyle{= $ \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 } & \hspace{1}{b}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 12 } & \hspace{1}{b}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{= $ \begin{array} \hspace{1}{b}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 11 }+\hspace{1}{b}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{b}_{ 11 }\hspace{1}{a}_{ 21 }+\hspace{1}{b}_{ 21 }\hspace{1}{a}_{ 12 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 11 }+\hspace{1}{b}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{b}_{ 12 }\hspace{1}{a}_{ 21 }+\hspace{1}{b}_{ 22 }\hspace{1}{a}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

$3$\displaystyle{= $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{b}_{ 11 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{b}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{b}_{ 11 }+\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{b}_{ 21 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 11 }\hspace{1}{b}_{ 12 }+\hspace{1}{a}_{ 12 }\hspace{1}{b}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 21 }\hspace{1}{b}_{ 12 }+\hspace{1}{a}_{ 22 }\hspace{1}{b}_{ 22 } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ･･････(8)

(7)，(8)より

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最終更新日： 2024年11月22日