共分散

共分散とは，2つの変量が平均からのずれ(偏差)に注目したとき，2つの変量が同じ向きに変化するか，反対向きに変化するかを表す量である．変量 $3$X$ と変量 $3$Y$ の対なっている $3$\displaystyle{n}$ 個のデータ $3$ \left({ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1} }\right)$ ， $3$ \left({ \hspace{1}{x}_{2},\hspace{1}{y}_{2} }\right)$ ， $3$\cdots$ ， $3$ \left({ \hspace{1}{x}_{n},\hspace{1}{y}_{n} }\right)$ の $3$x$ の平均値を $3$\bar{x}$ ， $3$y$ の平均値を $3$\bar{y}$ とすると共分散 $3$\hspace{1}{s}_{ xy }$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{s}_{ xy }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left{{ \left({ \hspace{1}{x}_{1}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{1}- \bar{y} }\right)+\left({ \hspace{1}{x}_{2}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{2}- \bar{y} }\right)+\cdots +\left({ \hspace{1}{x}_{n}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{n}- \bar{y} }\right) }\right}}$

によって求められる．

備考：高校では，共分散についても，今あるデータから求めた値であることを表し，母集団全体の量と区別しやすくするために， $3${\sigma}$ ではなく $3$s$ を用いることがある．

■解説

解説で使用するデータを下の表に示す．図はデータの散布図(各データに対応する点を描き，点の左下にデータの番号が表示されている)に． $3$\displaystyle{\left({ \bar{x},\bar{y} }\right)=\left({ 5,4.5 }\right)}$ の点 $3$\text{M}$ を追加し，この点から $3$x$ 軸， $3$y$ 軸に平行な直線を点線で描いている．さらに，各点から $3$\displaystyle{\left({ \bar{x},\bar{y} }\right)}$ の点から伸びている直線に垂線を下し，直線との交点の右下には交点名が表示されている．

データ番号	$3$X$	$3$Y$
1	1.0	3.7
2	2.0	1.2
3	4.0	4.7
4	6.0	4.4
5	8.0	7.3
6	9.0	5.7

以下に表を使った共分散の計算を示す．

データ番号	$3$X$	$3$Y$	$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }$	$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }$	$3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}$
1	1.0	3.5	-4.0	-1.0	4.0
2	2.0	1.5	-3.0	-3.0	9.0
3	4.0	5.1	-1.0	0.6	-0.6
4	6.0	3.9	1.0	-0.6	-0.6
5	8.0	6.3	3.0	1.8	5.4
6	9.0	6.7	4.0	2.2	8.8
平均	5.0	4.5	-	-	4.33･･･

$3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}$ の絶対値は，点 $3$i$ ，点 $3$ \hspace{1}{x}_{i}$ ，点 $3$\text{M}$ ，点 $3$ \hspace{1}{y}_{i}$ を結んだ長方形の面積になり，データが図の赤色の領域にあれば正の値，青色の領域にあれば負の値になる．この場合，共分散は約4.33 となった．

共分散の値が

正のとき，データは赤い領域に多く存在することになり，2つの変量が同じ向きに変化する．

負のとき，データは青い領域に多く存在することになり，2つの変量が反対向きに変化する．

傾向がある．

■インターラクティブグラフ

10個のデータ点をドラッグして動かしてください．データの値の変化に応じて変量 $3$X$ の分散 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{s}_{x}{ }^{2} }$ ，変量 $3$Y$ の分散 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{s}_{y}{ }^{2} }$ ，共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{s}_{ xy }}$ ，相関係数 $3$\displaystyle{r}$ が変化する．

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最終更新日：2026年3月19日