決定係数

決定係数 $3$\displaystyle{ {R}^{2} }$ は，全変動 $3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}^{2}}$ の内の回帰変動 $3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{\hat{y}}_{i}- \hat{\hat{y}} }\right)}^{2}}$ の割合のことで(変動の分解を参照)

$3$\displaystyle{ {R}^{2}= }$	回帰変動	$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{\hat{y}}_{i}- \hat{\hat{y}} }\right) }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}} }$ ･･････(1)
	全変動

で表される．

変動の分解

全変動(TSS)＝回帰変動(SSR)+残差変動(SSE)

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{\hat{y}}_{i}- \hat{\hat{y}} }\right)}^{2}+{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{{\varepsilon}}_{i}- \bar{{\varepsilon}} }\right)}^{2}}$ ･･････(2)

の関係を用いて(1)を書きかえると

$3$\displaystyle{{R}^{2}=\frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}- {\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{{\varepsilon}}_{i}- \bar{{\varepsilon}} }\right) }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1- \frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{{\varepsilon}}_{i}- \bar{{\varepsilon}} }\right) }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}}}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\varepsilon}}_{i}=\hspace{1}{y}_{i}- \hspace{1}{\hat{y}}_{i}}$ ， $3$\displaystyle{\bar{{\varepsilon}}=0}$ より，(3)を書きかえると

$3$\displaystyle{{R}^{2}=1- \frac{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \hspace{1}{\hat{y}}_{i} }\right) }^{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }^{2}} \hspace{2}}}$ ･･････(4)

となる．

決定係数 $3$\displaystyle{{R}^{2}}$ が1に近いことは，全変動に対する残差変動（残差平方和）の割合が小さいことを意味する．言い換えると，実際の値 $3$\hspace{1}{y}_{i}$ と予測値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\hat{y}}_{i}}$ との差が小さいことを表す．すなわち，決定係数 $3${R}^{2}$ の値が1に近いほど，回帰式のデータへのあてはまりが良いことを表す．

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　最終更新日： 2026年5月11日