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検定

■定義

未知母数について

仮説 $3$\displaystyle{\hspace{1}{H}_{0}:{\theta}=\hspace{1}{{\theta}}_{0}}$

を立て,この仮説のもとでのある推定量 $3$\displaystyle{T $ \hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} $ }$ の実現値により,仮説 $3$\displaystyle{\hspace{1}{H}_{0}}$ の正否の判断を下す方法を仮説の検定という．

■母平均の差の検定

■定理

分散が等しい2つの正規分布 $3$\displaystyle{N $ \hspace{1}{{\mu}}_{x},{{\sigma}}^{2} $ ,N $ \hspace{1}{{\mu}}_{y},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従う母集団からの標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{m}:\hspace{1}{Y}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{Y}_{n}}$ について

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} $ \bar{X}- \bar{Y} $ - $ \hspace{1}{{\mu}}_{x}- \hspace{1}{{\mu}}_{y} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}m\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ { \hat{S} }^{2} } \hspace{2}}}$

は自由度 $3$\displaystyle{ $ m+n- 2 $ }$ のt分布に従う．

ただし， $3$\displaystyle{{\hat{S}}^{2}=\frac{\hspace{2} $ m- 1 $ \hat{ S_{x}^{2} }+ $ n- 1 $ \hat{ S_{y}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} m+n- 2 \hspace{2}}}$ （分散の平均）

$3$\displaystyle{\bar{X}}$ ， $3$\displaystyle{\hat{ S_{x}^{2} }}$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{m}}$ の標本平均，標本分散

$3$\displaystyle{\bar{Y}}$ ， $3$\displaystyle{\hat{ S_{y}^{2} }}$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{Y}_{n}}$ の標本平均，標本分散

■等分散性の検定

■定理

分散が等しい2つの正規分布 $3$\displaystyle{N $ \hspace{1}{{\mu}}_{x},{{\sigma}}^{2} $ ,N $ \hspace{1}{{\mu}}_{y},{{\sigma}}^{2} $ }$ に従う母集団からの標本

$3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{m}:\hspace{1}{Y}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{Y}_{n}}$

に対し,標本分散の比

$3$\displaystyle{F=\frac{\hspace{2} \hat{ S_{x}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} \hat{ S_{y}^{2} } \hspace{2}}}$

は自由度 $3$\displaystyle{ $ m- 1,n- 1 $ }$ の $3$F$ 分布に従う．

■無相間の検定

■定理

母相関係数が0である2次元正規母集団 $3$\displaystyle{N $ \hspace{1}{{\mu}}_{1},\hspace{1}{{\mu}}_{2},{\sigma}_{1}^{2},{\sigma}_{2}^{2},0 $ }$ からの大きさ $3$n$ の標本

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{Y}_{1} $ , $ \hspace{1}{X}_{2},\hspace{1}{Y}_{2} $ ,\cdot \cdot \cdot , $ \hspace{1}{X}_{n},\hspace{1}{Y}_{n} $ }$

の標本相関係数を $3$R$ とするとき,

$3$\displaystyle{T=\frac{\hspace{2} \sqrt{ n- 2 }R \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {R}^{2} } \hspace{2}}}$

は自由度 $3$\displaystyle{ $ n- 2 $ }$ の $3$t$ 分布に従う．

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最終更新日： 2024年4月9日