二項分布

離散型確率変数 $3$X$ の確率関数（確率分布）が

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\hspace{1}{}_{}^{}Cn_{}^{}}\hspace{1}{ }_{x}{p}^{x}{q}^{ n- x }$ $3$\displaystyle{ $ p> 0,q> 0,p+q=1;x=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ,n $ }$

となるものを二項分布といい，確率変数 $3$\displaystyle{X}$ は二項分布 $3$\displaystyle{B $ n,p $ }$ に従うという．

二項分布 $3$\displaystyle{B $ n,p $ }$ について

平均： $3$\displaystyle{E $X$ =np}$

分散： $3$\displaystyle{V $X$ =npq}$

である．

二項分布の確率関数は，二項定理

$3$\displaystyle{{\left({ q+p }\right)}^{n}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=0 }^{n} \hspace{1}{ }_{n}\hspace{1}{C}_{x}{q}^{ n- x }{p}^{x} }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=0 }^{n} \hspace{1}{ }_{n}\hspace{1}{C}_{x}{p}^{x}{q}^{ n- x } }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=0 }^{n} f\left({x}\right) }=1}$

の各項に対応している．

● $3$\displaystyle{E\left({X}\right)}$ を求める計算

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=0 }^{n} xf\left({x}\right) }}$ （平均を参照）

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=0 }^{n} x\hspace{1}{}_{}^{}Cx_{n}^{} \hspace{1}{ }_{x}{p}^{x}{q}^{ n- x }}}$

$3$x=0$ のとき， $3$\displaystyle{xf\left({x}\right)=0}$ となるので， $3$x=1$ から始めても $3$\sum$ の値はかわらない．よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=1 }^{n} x\hspace{1}{}_{}^{}Cx_{n}^{} \hspace{1}{ }_{x}{p}^{x}{q}^{ n- x }}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=1 }^{n} \frac{\hspace{2} xn! \hspace{2}}{\hspace{2} x!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}{p}^{x}{q}^{ n- x } }}$ （組合わせ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}C{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}_{rn}^{}{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5} }$ を参照）

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=1 }^{n} \frac{\hspace{2} xn\left({ n- 1 }\right)! \hspace{2}}{\hspace{2} x!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}p\cdot {p}^{ x- 1 }{q}^{ n- x } }}$

$3$\displaystyle{=np\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=1 }^{n} \frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right)! \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 1 }\right)!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}{p}^{ x- 1 }{q}^{ n- x } }}$

$3$\displaystyle{x- 1=y}$ とおいて式を書きかえる．

$3$\displaystyle{=np\displaystyle{{\sum }\limits_{ y=0 }^{ n- 1 } \frac{\hspace{2} \left({ n- 1 }\right)! \hspace{2}}{\hspace{2} y!\left{{ n- \left({ y+1 }\right) }\right}! \hspace{2}}{p}^{y}{q}^{ n- \left({ y+1 }\right) } }}$

$3$\displaystyle{n- 1=m}$ とおいて式を書きかえる．

$3$\displaystyle{=np\displaystyle{{\sum }\limits_{ y=0 }^{m} \frac{\hspace{2} m! \hspace{2}}{\hspace{2} y!\left({ m- y }\right)! \hspace{2}}{p}^{y}{q}^{ m- y } }}$

$3$\displaystyle{=np{\left({ p+q }\right)}^{m}}$ （二項定理を参照）

$3$\displaystyle{p+q=1}$ より

$3$\displaystyle{=np}$

● $3$\displaystyle{V\left({X}\right)}$ を求める計算

$3$\displaystyle{V\left({X}\right)=E\left({ {X}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$ （分散を参照）

$3$\displaystyle{=E\left({ X\left({ X- 1 }\right)+X }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$

$3$\displaystyle{=E\left({ X\left({ X- 1 }\right) }\right)+E\left({X}\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=0 }^{n} x\left({ x- 1 }\right)f\left({x}\right) }+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=0 }^{n} x\left({ x- 1 }\right)\hspace{1}{}_{}^{}Cn_{}^{} \hspace{1}{ }_{x}{p}^{x}{q}^{ n- x }}}$ $3$\displaystyle{+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$

$3$x=0$ ， $3$x=1$ のとき， $3$x\left({ x- 1 }\right)f\left({x}\right)=0$ となるので， $3$x=2$ から始めても $3$\sum$ の値はかわらない．よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=2 }^{n} x\left({ x- 1 }\right)\hspace{1}{}_{}^{}Cn_{}^{} \hspace{1}{ }_{x}{p}^{x}{q}^{ n- x }}}$ $3$\displaystyle{+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=2 }^{n} \frac{\hspace{2} x\left({ x- 1 }\right)n! \hspace{2}}{\hspace{2} x!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}{p}^{x}{q}^{ n- x } }+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$ （組合わせ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}C{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}_{rn}^{}{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5} }$ を参照）

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=2 }^{n} \frac{\hspace{2} n\left({ n- 1 }\right)\left({ n- 2 }\right)! \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 2 }\right)!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}{p}^{2}{p}^{ x- 2 }{q}^{ n- x } }}$ $3$\displaystyle{+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=n\left({ n- 1 }\right){p}^{2}\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=2 }^{n} \frac{\hspace{2} \left({ n- 2 }\right)! \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 2 }\right)!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}{p}^{ x- 2 }{q}^{ n- x } }}$ $3$\displaystyle{+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{x- 2=y}$ とおいて式を書きかえる．

$3$\displaystyle{=n\left({ n- 1 }\right){p}^{2}\displaystyle{{\sum }\limits_{ y=0 }^{ n- 2 } \frac{\hspace{2} \left({ n- 2 }\right)! \hspace{2}}{\hspace{2} y!\left{{ n- \left({ y+2 }\right) }\right}! \hspace{2}}{p}^{y}{q}^{ n- \left({ y+2 }\right) } }}$ $3$\displaystyle{+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{n- 2=l}$ とおいて式を書きかえる．

$3$\displaystyle{=n\left({ n- 1 }\right){p}^{2}\displaystyle{{\sum }\limits_{ y=0 }^{ n- 2 } \frac{\hspace{2} l! \hspace{2}}{\hspace{2} y!\left({ l- y }\right)! \hspace{2}}{p}^{y}{q}^{ l- y } }}$ $3$\displaystyle{+np- {\left({ np }\right)}^{2}}$