2次関数の最大と最小

2次関数 $3$y=a{x}^{2}+bx+c$ は頂点で最大値あるいは最小値をもつ．

まず， $3$y=a{ $ x- p $ }^{2}+q$ の形に式を変形し頂点を求める．

$3$y=a{x}^{2}+bx+c$ ⇒ $3$\displaystyle{y=a{ $ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {b}^{2}- 4ac \hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}}$

頂点の座標は

$3$\displaystyle{ $ p,q $ = $ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}},- \frac{\hspace{2} {b}^{2}- 4ac \hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{a> 0}$

　

頂点で最小となる．最大値はない．

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$ で最小値は $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} {b}^{2}- 4ac \hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{a< 0}$

　

頂点で最大となる．最小値はない．

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$ で最大値は $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} {b}^{2}- 4ac \hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x}$ の範囲に指定がある場合はここをみてください．

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最終更新日： 2025年4月25日