漸近線

漸近線とは，曲線の中心部から遠くに離れるほど曲線との距離が限りなく0に近づき，その曲線とは交わる(接触)しない直線のことである．

分かりやすい例でいうと，反比例のグラフである．

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ のグラフを見てみると，原点から遠く離れている部分では $3$\displaystyle{ x }$ 軸と $3$\displaystyle{ y }$ 軸に近づいているが，決して交わることはない．

よって， $3$\displaystyle{ x }$ 軸と $3$\displaystyle{ y }$ 軸が漸近線になる．

$3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフに関して， $3$\displaystyle{y}$ 軸に平行な漸近線の場合

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a+0 }f$x$=\infty }$

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a+0 }f$x$=- \infty }$

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a- 0 }f$x$=\infty }$

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a- 0 }f$x$=- \infty }$

（関数の極限の右側極限、左側極限を参照）

のどれか1つでも成り立てば， $3$\displaystyle{ x=a }$ が漸近線となる．

$3$\displaystyle{x}$ 軸に平行な漸近線の場合

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow +\infty }f $x$ =a }$

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow - \infty }f $x$ =a }$

のどれか1つでも成り立てば， $3$\displaystyle{ y=a }$ が漸近線となる．

また，双曲線 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1 }$ のグラフのように1次関数が漸近線になることもある．

関数この場合， $3$\displaystyle{ y=\pm \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}x }$ が漸近線である．

関数 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ の漸近線が1次関数 $3$\displaystyle{ y=ax+b }$ の場合

傾き $3$\displaystyle{a}$ : $3$\displaystyle{ a={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \pm \infty }\frac{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

$3$y$ 切片 $3$\displaystyle{b}$ : $3$\displaystyle{ b={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \pm \infty } \{ f $x$ - ax \} }$

となる．

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最終更新日： 2024年3月1日