KIT Mathematics Navigation
(which is translated by google translate from Japanese to other language)

number & formula	function	geometry	power & logarithm	vector	trigonometric function
complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

内心

三角形 $3$\text{ABC}$ の内心I

■ 内心の定義

・三角形の各内角の2等分線の交点
・三角形の内接円の中心

■ 特徴

$3$\displaystyle{\text{ID}=\text{IE}=\text{IF}}$ 　（ $3$\text{I}$ ：内心）

■ 内心のベクトル表記

$3$\text{BC}=a$ ， $3$\text{CA}=b$ ， $3$\text{AB}=c$ とし，頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ と内心 $3$\text{I}$ の位置ベクトルをそれぞれ $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }}$ とすると，

$3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2} a{a}\limits^{\rightarrow }+b{b}\limits^{\rightarrow }+c{c}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}}$

● 導出（クリックで開く）

▼ 導出（クリックで閉じる）

頂点 $3$\text{A}$ の角の二等分線 $3$\ell$ と辺 $3$\text{BC}$ との交点を $3$\text{P}$ ，頂点 $3$\text{B}$ の角の二等分線 $3$m$ と辺 $3$\text{AC}$ との交点を $3$\text{Q}$ とする．

内心 $3$\text{I}$ の位置ベクトルは $3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }}$ は， $3$\displaystyle{{ \text{AI} }\limits^{\longrightarrow }=t{ \text{AP} }\limits^{\longrightarrow }}$ （ $3$t$ ：定数）より，

$3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow }=t\frac{\hspace{2} b{ \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }+c{ \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} b+c \hspace{2}}}$ （ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 角の二等分線の性質と内分のベクトル表示）

$3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }+t\frac{\hspace{2} b $ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } $ +c $ {c}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } $ \hspace{2}}{\hspace{2} b+c \hspace{2}}}$

整理すると，

$3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }= $ 1- t $ {a}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2} bt \hspace{2}}{\hspace{2} b+c \hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2} ct \hspace{2}}{\hspace{2} b+c \hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(1)

また， $3$\displaystyle{{ \text{BI} }\limits^{\longrightarrow }=s{ \text{BQ} }\limits^{\longrightarrow }}$ （ $3$t$ ：定数）より，

$3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow }=s\frac{\hspace{2} a{ \text{BA} }\limits^{\longrightarrow }+c{ \text{BC} }\limits^{\longrightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} a+c \hspace{2}}}$ （ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 角の二等分線の性質と内分のベクトル表示）

$3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }+s\frac{\hspace{2} a $ {a}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow } $ +c $ {b}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow } $ \hspace{2}}{\hspace{2} a+c \hspace{2}}}$

整理すると，

$3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }=\frac{\hspace{2} as \hspace{2}}{\hspace{2} a+c \hspace{2}}{a}\limits^{\rightarrow }+ $ 1- s $ {b}\limits^{\rightarrow }+\frac{\hspace{2} cs \hspace{2}}{\hspace{2} a+c \hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(2)

となる．式(1)と式(2)は同じ $3$\displaystyle{{i}\limits^{\rightarrow }}$ であるので， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ の係数はお互いに等しいことより，

$3$\displaystyle{1- t=\frac{\hspace{2} as \hspace{2}}{\hspace{2} a+c \hspace{2}}}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} bt \hspace{2}}{\hspace{2} b+c \hspace{2}}=1- s}$ ･･････(4)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} ct \hspace{2}}{\hspace{2} b+c \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} cs \hspace{2}}{\hspace{2} a+c \hspace{2}}}$ ･･････(5)

となる連立方程式が得られる（変数が２つであるので，３式の内１つは不要である．２式から残り１式が導かれる）．

(3)，(4)より，

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} b+c \hspace{2}}{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}}$ ･･････(6) ， $3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2} a+c \hspace{2}}{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}}$ ･･････(7)

が得られる．(6)を(1)に代入すると，

$3$\displaystyle{ {i}\limits^{\rightarrow }= $ 1- \frac{\hspace{2} b+ c \hspace{2}}{\hspace{2} a+ b+ c \hspace{2}} $ {a}\limits^{\rightarrow }+ }$ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} b+ c \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} b+ c \hspace{2}}{\hspace{2} a+ b+ c \hspace{2}}{b}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ + \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2} b+ c \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} b+ c \hspace{2}}{\hspace{2} a+ b+ c \hspace{2}}{c}\limits^{\rightarrow } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} a{a}\limits^{\rightarrow }+ b{b}\limits^{\rightarrow }+ c{c}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} a+ b+ c \hspace{2}} }$

となり，内心の位置ベクトルが得られる．

【導出終了】（クリックで閉じる）

JSXGraphによる三角形の内心（下図の点 $3$\text{A}$ , $3$\text{B}$ , $3$\text{C}$ を動かしてみよう）

JSXGraph Copyright (C) see http://jsxgraph.org

ホーム>>カテゴリー分類>>幾何>>内心

最終更新日：2023年7月1日