垂線の長さ（点と直線の距離）

点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ から直線 $3$\displaystyle{ax+by+c=0}$ への垂線の長さ（言い換えると点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ と直線 $3$ax+by+c=0$ との距離）は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \| a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c \| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$

となる．

■導出計算

点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ を $3$\displaystyle{\text{P}}$ 点とする．この $3$\displaystyle{\text{P}}$ 点から直線 $3$\displaystyle{ax+by+c=0}$ へ下ろした垂線の足を点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とし，その座標を $3$ $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1} $$ をとする．垂線の長さ $3$\displaystyle{\text{PQ}}$ は

$3$\displaystyle{\text{PQ}= \| { \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow } \| =\sqrt{ { $ \hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{0} $ }^{2}+{ $ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} $ }^{2} }}$ $3$\displaystyle{ $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet { \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow }= \( \hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} $ \) }$ ･･････(1)

次に，直線の方向ベクトル $3$\displaystyle{{m}\limits^{\rightarrow }}$ を求める．

$3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$ より
$3$\displaystyle{{m}\limits^{\rightarrow }= $ 1,- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{{m}\limits^{\rightarrow }}$ と $3${ \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow }$ のなす角は90°より

$3$\displaystyle{{ \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow }\cdot {m}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{0} $ \cdot 1+ $ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} $ \cdot $ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

よって，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}- \hspace{1}{x}_{0}= $ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} $ \cdot $ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ }$ ･･････(2)

(1)に(2)を代入すると

$3$\displaystyle{ \text{PQ} }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ { \left({ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} }\right) }^{2}\frac{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ { \left{{ \left({ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} }\right)\cdot \left({ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }\right) }\right} }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} }\right) }^{2} } }$ ･･････(3)

次に， $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}}$ の消去を図る．点Qが直線上にあることより

$3$\displaystyle{a\hspace{1}{x}_{1}+b\hspace{1}{y}_{1}+c=0}$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{1}- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$ ･･････(4)

(4)を(2)に代入すると

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{1}- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \hspace{1}{x}_{0}= $ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} $ \cdot $ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ }$
$3$\displaystyle{ $ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ \hspace{1}{y}_{1}=\hspace{1}{x}_{0}- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{0}+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} ab \hspace{2}}\hspace{1}{y}_{1}=\hspace{1}{x}_{0}- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{0}+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}=\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}} $ ab\hspace{1}{x}_{0}- {a}^{2}\hspace{1}{y}_{0}+bc $ }$

よって

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{1}- \hspace{1}{y}_{0} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}\left({ ab\hspace{1}{x}_{0}- {a}^{2}\hspace{1}{y}_{0}+bc }\right)- \hspace{1}{y}_{0} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}\left({ ab\hspace{1}{x}_{0}+{b}^{2}\hspace{1}{y}_{0}+bc }\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - b \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}\left({ a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c }\right) }$ ･･････（5）

(5)を(3)代入して

$3$\displaystyle{\text{PQ}}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left{{ \frac{\hspace{2} - b \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}\left({ a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c }\right) }\right} }^{2}\frac{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2} { \left({ a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \| a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c \| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$

が得られる．

●別解

ホーム>>カテゴリー別分類>>幾何>>垂線の長さ（点と直線の距離）

最終更新日： 2025年10月16日