垂線の長さ（点と直線の距離）その２

点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ から直線 $3$\displaystyle{ax+by+c=0}$ への垂線の長さ（言い換えると点 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ と直線 $3$ax+by+c=0$ との距離）は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \| a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c \| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$

となる．

■導出計算

直線 $3$\displaystyle{\ell }$ と点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ の距離を求める．

直線 $3$\displaystyle{\ell }$ の方程式は $3$\displaystyle{ ax+by+c=0 }$ で，点 $3$\displaystyle{{\text{P}}^{\prime }}$ の座標は $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ である．点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ から直線 $3$\displaystyle{\ell }$ に垂線を下ろし，直線 $3$\displaystyle{\ell }$ との交点を $3$\displaystyle{\text{H}}$ とする．線分 $3$\displaystyle{ \text{PH} }$ の長さが直線 $3$\displaystyle{\ell }$ と点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ の距離である．(図1)

計算を簡単にするために，点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ と直線 $3$\displaystyle{\ell }$ を $3$\displaystyle{x}$ 軸方向に $3$\displaystyle{ - \hspace{1}{x}_{0} }$ ， $3$\displaystyle{y}$ 軸方向に $3$\displaystyle{ - \hspace{1}{y}_{0} }$ 平行移動し，点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ を原点に重ねる．直線 $3$\displaystyle{\ell }$ は，平行移動により

$3$\displaystyle{ a \hspace{5}\hspace{5}$ x+\hspace{1}{x}_{0} $ +b\hspace{5}\hspace{5} $ y+\hspace{1}{y}_{0} $ +c=0 }$ ・・・・(1)

で表わされる直線 $3$\displaystyle{{\ell }^{\prime }}$ に移る．また，点 $3$\displaystyle{\text{H}}$ は点 $3$\displaystyle{{\text{H}}^{\prime }}$ に移る．(図2)

平行移動しただけであるので

$3$\displaystyle{ \text{OH}={\text{OH}}^{\prime } }$

である．

直線 $3$\displaystyle{{\ell }^{\prime }}$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸の交点を $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とする．直線 $3$\displaystyle{{\ell }^{\prime }}$ の傾きと等しく

$3$\displaystyle{ ax+by+c=0 }$

$3$\displaystyle{ by=- ax- c }$

$3$\displaystyle{ y=- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }$

より， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }$ である．

線分 $3$\displaystyle{ {\text{OH}}^{\prime }\bot{\ell }^{\prime } }$ より線分 $3$\displaystyle{{\text{OH}}^{\prime }}$ の傾きを $3$\displaystyle{m}$ とすると

$3$\displaystyle{ m \hspace{5}\hspace{5}$ - \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ =- \hspace{5}\hspace{5}1 }$ 　　(垂直に交わる条件を参照)

となり

$3$\displaystyle{ m=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

となる．

よって，線分 $3$\displaystyle{{\text{OH}}^{\prime }}$ に平行なベクトルを $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow } }$ とすると

$3$\displaystyle{ {\hspace{5}\hspace{5}a}\limits^{\rightarrow }= $ a,b $ }$

である．

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{ { \text{OQ} }\limits^{\rightarrow } }$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}\hspace{5}\hspace{5}}$ とすると

$3$\displaystyle{ {\text{OH}}^{\prime }=\text{OQ}\cos {\theta} }$ ・・・・(2)

となる． $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow } }$ が $3$\displaystyle{ {\text{OH}}\limits^{\rightarrow } }$ と逆向きの場合もある(図3)．その場合

$3$\displaystyle{ {\text{OH}}^{\prime }=\text{OQ}\cos $ { 180 }^{^\circ }- {\theta} $ }$

$3$\displaystyle{ =\text{OQ} $ - \cos {\theta} $\hspace{5}\hspace{5} }$ ・・・・(3)

となる．よって(2)，(3)より

$3$\displaystyle{ {\text{OH}}^{\prime }=\text{OQ} \| \cos {\theta} \| }$

となる．

点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の座標を求める．(1)において， $3$\displaystyle{ y=0 }$ より

$3$\displaystyle{ a $ x+\hspace{1}{x}_{0} $ +b\hspace{1}{y}_{0}+c=0 }$

$3$\displaystyle{ a $ x+\hspace{1}{x}_{0} $ =- b\hspace{1}{y}_{0}- c }$

$3$\displaystyle{ x+\hspace{1}{x}_{0}=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{0}- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ x=- \hspace{1}{x}_{0}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{0}- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

よって点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の座標は

$3$\displaystyle{ $ - \hspace{1}{x}_{0}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{0}- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}},0 $ }$

である．

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\longrightarrow }\cdot { \text{OQ} }\limits^{\longrightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \| {a}\limits^{\longrightarrow } \| \| { \text{OQ} }\limits^{\longrightarrow } \| \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ { \text{OQ} }\limits^{\longrightarrow }= $ - \hspace{1}{x}_{0}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{0}- \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}},0 $ }$

$3$\displaystyle{ \text{OQ}= \| { \text{OQ} }\limits^{\longrightarrow } \| }$

より

$3$\displaystyle{ {\text{OH}}^{\prime }= \| { \text{OQ} }\limits^{\rightarrow } \| \left|{ \frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OQ} }\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \| {a}\limits^{\rightarrow } \| \| { \text{OQ} }\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}} }\right| }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \left|{ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{OQ} }\limits^{\rightarrow } }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right| \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \left|{ \left({ a,b }\right)\cdot \left({ - \hspace{1}{x}_{0}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\hspace{1}{y}_{0}- c,0 }\right) }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ \left({ a,b }\right) }\right| \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \| a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+c \| \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} }$

●別解

ホーム>>カテゴリー別分類>>幾何>>垂線の長さ（点と直線)>>垂線の長さ（点と直線）その２

最終更新日： 2025年10月16日