積和の公式

$3$\displaystyle{\sin {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ +\sin $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ 　⇒公式の導出
$3$\displaystyle{\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ - \sin $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ 　⇒公式の導出
$3$\displaystyle{\cos {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ +\cos $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ 　⇒公式の導出
$3$\displaystyle{\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ - \cos $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ 　 ⇒公式の導出

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■積和の公式の導出

● $3$\displaystyle{\sin {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ +\sin $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ の導出

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}+{\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\beta}- \cos {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(2)

である．(1)＋(2)より

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}+{\beta} $ +\sin $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=2\sin {\alpha}\cos {\beta}}$ ･･････(3)

(3)を変形して

$3$\displaystyle{\sin {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ +\sin $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$

が得られる．

● $3$\displaystyle{\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ - \sin $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ の導出

sinの加法定理より

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}+{\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\beta}- \cos {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(2)

である．(1)ー(2)より

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}+{\beta} $ - \sin $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=2\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(4)

(4)を変形して

$3$\displaystyle{\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ - \sin $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$

が得られる．

● $3$\displaystyle{\cos {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ +\cos $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ の導出

cosの加法定理より

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}+{\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(5)

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos {\beta}+\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(6)

である．(5)＋(6)より

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}+{\beta} $ +\cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=2\cos {\alpha}\cos {\beta}}$ ･･････(7)

(7)を変形して

$3$\displaystyle{\cos {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ +\cos $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$

が得られる．

● $3$\displaystyle{\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ - \cos $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$ の導出

cosの加法定理より

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}+{\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(5)

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos {\beta}+\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(6)

である．(5)－(6)より，

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}+{\beta} $ - \cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=- 2\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(8)

(8)を変形して

$3$\displaystyle{\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ - \cos $ {\alpha}- {\beta} $ \} }$

が得られる．

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最終更新日 2026年2月10日

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● $3$\displaystyle{\sin {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin \( {\alpha}+{\beta} \) +\sin \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出

● $3$\displaystyle{\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin \( {\alpha}+{\beta} \) - \sin \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出

● $3$\displaystyle{\cos {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos \( {\alpha}+{\beta} \) +\cos \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出

● $3$\displaystyle{\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos \( {\alpha}+{\beta} \) - \cos \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出

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● の導出

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● $3$\displaystyle{\sin {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin \( {\alpha}+{\beta} \) +\sin \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出

● $3$\displaystyle{\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \sin \( {\alpha}+{\beta} \) - \sin \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出

● $3$\displaystyle{\cos {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos \( {\alpha}+{\beta} \) +\cos \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出

● $3$\displaystyle{\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \cos \( {\alpha}+{\beta} \) - \cos \( {\alpha}- {\beta} \) \} }$ の導出