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絶対値の性質4の証明

$3$\displaystyle{\left|{ ab }\right|=\left|{a}\right|\times \left|{b}\right|}$ 　･･････(1)

■証明

● $3$\displaystyle{a> 0}$ ， $3$b> 0$ のとき

左辺は， $3$\displaystyle{ab> 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ ab }\right|=ab}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(2)

となる．

右辺は， $3$\left|{a}\right|=a$ ， $3$\left|{b}\right|=b$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\left|{a}\right|\times \left|{b}\right|=ab}$ 　　･･････(3)

となる．

(2)，(3)より(1)が成り立つ．

● $3$a< 0$ ， $3$b> 0$ のとき

$3$- a=\alpha > 0$ とおく．

左辺は， $3$\displaystyle{ab< 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ ab }\right|=- ab=\alpha b}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(4)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|=- a=\alpha }$ ， $3$\left|{b}\right|=b$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\left|{a}\right|\times \left|{b}\right|=- ab=\alpha b}$ 　　･･････(5)

となる．

(4)，(5)より(1)が成り立つ．

● $3$a> 0$ ， $3$b< 0$ のとき

$3$\displaystyle{- b={\beta}> 0}$ とおく．

左辺は， $3$\displaystyle{ab< 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ ab }\right|=a\left({ - b }\right)=\alpha {\beta}}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(6)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|=a}$ ， $3$\displaystyle{\left|{b}\right|=- b={\beta}}$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\left|{a}\right|\times \left|{b}\right|=a\left({ - b }\right)=a{\beta}}$ 　　･･････(7)

となる．

(6)，(7)より(1)が成り立つ．

● $3$a< 0$ ， $3$b< 0$ のとき

$3$\displaystyle{- a=\alpha > 0}$ ， $3$\displaystyle{- b={\beta}> 0}$ とおく．

左辺は， $3$\displaystyle{ab> 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ ab }\right|=ab}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(8)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|=- a=\alpha }$ ， $3$\displaystyle{\left|{b}\right|=- b={\beta}}$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\left|{a}\right|\times \left|{b}\right|=\left({ - a }\right)\left({ - b }\right)=ab}$ 　･･････(9)

となる．

(8)，(9)より(1)が成り立つ．

● $3$\displaystyle{a}$ ， $3$\displaystyle{b}$ の少なくとも一方が $3$0$ のとき

左辺は， $3$\displaystyle{ab=0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ ab }\right|=0}$ 　･･････(10)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|}$ ， $3$\displaystyle{\left|{b}\right|}$ の少なくとも一方が $3$0$ より

$3$\displaystyle{\left|{a}\right|\times \left|{b}\right|=0}$ 　･･････(11)

となる．

(10)，(11)より(1)が成り立つ．

以上より

実数 $3$a$ ， $3$b$ について

$3$\displaystyle{\left|{ ab }\right|=\left|{a}\right|\times \left|{b}\right|}$

が成り立つ．

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最終更新日： 2024年7月24日