絶対値の性質5の証明

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }\right|=\frac{\hspace{2} \left|{a}\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{b}\right| \hspace{2}}}$ 　ただし， $3$b\neq 0$ 　･･････(1)

■証明

● $3$\displaystyle{a> 0}$ ， $3$b> 0$ のとき

左辺は， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}> 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }\right|=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(2)

となる．

右辺は， $3$\left|{a}\right|=a$ ， $3$\left|{b}\right|=b$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left|{a}\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{b}\right| \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$ 　　･･････(3)

となる．

(2)，(3)より(1)が成り立つ．

● $3$a< 0$ ， $3$b> 0$ のとき

$3$- a=\alpha > 0$ とおく．

左辺は， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}< 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }\right|=- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} - a \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(4)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|=- a=\alpha }$ ， $3$\left|{b}\right|=b$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left|{a}\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{b}\right| \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} - a \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$ 　　･･････(5)

となる．

(4)，(5)より(1)が成り立つ．

● $3$a> 0$ ， $3$b< 0$ のとき

$3$\displaystyle{- b={\beta}> 0}$ とおく．

左辺は， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}< 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }\right|=- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} - b \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(6)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|=a}$ ， $3$\displaystyle{\left|{b}\right|=- b={\beta}}$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left|{a}\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{b}\right| \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} - b \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}}$ 　　･･････(7)

となる．

(6)，(7)より(1)が成り立つ．

● $3$a< 0$ ， $3$b< 0$ のとき

$3$\displaystyle{- a=\alpha > 0}$ ， $3$\displaystyle{- b={\beta}> 0}$ とおく．

左辺は， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}> 0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }\right|=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$ 　（絶対値の性質1を参照）　･･････(8)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|=- a=\alpha }$ ， $3$\displaystyle{\left|{b}\right|=- b={\beta}}$ より（絶対値の性質1を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left|{a}\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{b}\right| \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} - a \hspace{2}}{\hspace{2} - b \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$ 　･･････(9)

となる．

(8)，(9)より(1)が成り立つ．

● $3$a=0$ のとき

左辺は， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=0}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }\right|=0}$ 　･･････(10)

となる．

右辺は， $3$\displaystyle{\left|{a}\right|=0}$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \left|{a}\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{b}\right| \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2} \left|{b}\right| \hspace{2}}=0}$ 　･･････(11)