梁の曲率と曲げモーメントの関係

ヤング率が $3$\displaystyle{E}$ ，断面2次モーメントが $3$\displaystyle{I}$ である梁において，梁の曲率 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ と曲げモーメント $3$\displaystyle{M}$ との間には

$3$\displaystyle{M=EI\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$

で表される関係が成り立つ．

■導出

梁がたわみ，梁の中心線が $3$\displaystyle{Y=Y $x$ }$ という関数で表されるとき $3$\displaystyle{Y $x$ }$ と曲率半径 $3$\displaystyle{R}$ との間には　⇒ここを参照

梁が下に凸に変形した場合

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ 　･･････(1)

上に凸に変形した場合

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ 　･･････(2)

で表される．

ヤング率が $3$\displaystyle{E}$ ，断面2次モーメントが $3$\displaystyle{I}$ である梁において，梁の曲率半径が $3$\displaystyle{R}$ のとき曲げモーメントは

$3$\displaystyle{M=\frac{\hspace{2} EI \hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}}$ 　･･････(3)　⇒ここを参照

(1)，(2)を(3)にそのまま代入すると

梁が下に凸にたわむ $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}> 0 $ }$ 場合

$3$\displaystyle{M=EI\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}> 0}$ 　･･････(4)　

梁が上に凸にたわむ $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}< 0 $ }$ 場合

$3$\displaystyle{M=- EI\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}> 0}$ 　･･････(5)　

となる．曲げモーメント $3$\displaystyle{M}$ は下に凸にたわんでいる場合は $3$\displaystyle{M> 0}$ ，上に凸にたわんでいる場合は $3$\displaystyle{M< 0}$ と定義されているので，(5)ではたわみ曲線の微分方程式の符号が逆になる． $3$\displaystyle{M}$ の符号をあわせるために，(5)の右辺に-1を掛けること，(4)と一致する．よって，梁が上に凸にたわむ場合も下に凸にたわむ場合も

$3$\displaystyle{M=EI\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ 　

となる．

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最終更新日2017年5月30日