たわみ曲線の微分方程式

ヤング率が $3$\displaystyle{E}$ ，断面2次モーメントが $3$\displaystyle{I}$ である梁において，曲げモーメント $3$\displaystyle{M}$ と梁のたわみ $3$\displaystyle{v}$ との間には

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {d}^{2}v \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}M\hspace{2}}{\hspace{2} EI \hspace{2}} }$

で表される関係が成り立つ．この関係式のことをたわみ曲線の微分方程式という．

■導出

荷重によって梁がたわむ場合，下方にたわむことが多い．そのため，たわみ量 $3$\displaystyle{v}$ は下向きを正方向にするのがい一般的である．梁の中心線の関数 $3$\displaystyle{Y}$ とたわみ量 $3$\displaystyle{v}$ の間には

$3$\displaystyle{v $x$ =\hspace{1}{Y}_{0}- Y $x$ }$ 　

$3$\displaystyle{Y $x$ =\hspace{1}{Y}_{0}- v $x$ }$ 　･･････(1)

となる関係が成り立つ．

一方，ヤング率が $3$\displaystyle{E}$ ，断面2次モーメントが $3$\displaystyle{I}$ である梁において，梁の曲率 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ と曲げモーメント $3$\displaystyle{M}$ との間には

$3$\displaystyle{M=EI\frac{\hspace{2} {d}^{2}Y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ 　･･････(2)

という関係がある．⇒ここを参照

(1)を(2)に代入すると

$3$\displaystyle{M=- EI\frac{\hspace{2} {d}^{2}v \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ 　

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}v \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}M\hspace{2}}{\hspace{2} EI \hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日2025年4月22日