速度

時刻 $3$\displaystyle{t}$ における質点の位置を $3$\displaystyle{\mathbb{r}$t$}$ とし，時刻 $3$\displaystyle{t}$ から $3$\displaystyle{t+{\Delta}t}$ の間に，質点の位置が $3$\displaystyle{\mathbb{r}$t$}$ から $3$\displaystyle{\mathbb{r}$t+{\Delta}t$}$ に変化したとする．このとき，時刻 $3$\displaystyle{t}$ から $3$\displaystyle{t+{\Delta}t}$ の間の質点の平均速度は

$3$\displaystyle{ \bar{\mathbb{v}}=\frac{\hspace{2} \mathbb{r}$t+{\Delta}t$- \mathbb{r}$t$ \hspace{2}}{\hspace{2} t+{\Delta}t- t \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} {\Delta}\mathbb{r} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}} }$ ---(1)

と表せる．つまり，時刻 $3$\displaystyle{t}$ から $3$\displaystyle{t+{\Delta}t}$ の間の質点の変位 $3$\displaystyle{{\Delta}\mathbb{r}=\mathbb{r}$t+{\Delta}t$- \mathbb{r}$t$}$ を時間 $3$\displaystyle{{\Delta}t}$ で割ったものである．式(1)において $3$\displaystyle{{\Delta}t\rightarrow 0}$ の極限をとると，時刻 $3$\displaystyle{t}$ における (瞬間)速度

$3$\displaystyle{ \mathbb{v}={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\bar{\mathbb{v}}={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}\mathbb{r} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} d\mathbb{r} \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }$ ---(2)

が求まる．

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