平面上の運動の加速度

加速度ページでは，直線上を運動する物体の加速度の説明をした．このページでは，平面上の運動の加速度(ベクトル)について解説する．

○ 平均の加速度

平面上を運動する物体の，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ での速度を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{1}\text{\hspace{1}}\[\text{m}/\text{s}\] }$ ，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}\[\text{s}\]}$ での速度を $3$\displaystyle{\hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{2}\text{\hspace{1}}\[\text{m}/\text{s}\]}$ とする． $3$\displaystyle{ {\Delta}{v}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{2}- \hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}t=\hspace{1}{t}_{2}-\hspace{1}{t}_{1}}$ とおくと，平均の加速度は

$3$\displaystyle{\bar{\bar{a}}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{2}- \hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {\Delta}{v}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$

で表される．

○ 加速度（瞬間の加速度）

上の平均の加速度の式において， $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}}$ に限りなく近づける，つまり $3$\displaystyle{{\Delta}t}$ を限りなくゼロに近づけると，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における加速度(瞬間の加速度)は

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }$\hspace{1}{t}_{1}$}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{t}_{2}\rightarrow \hspace{1}{t}_{1} }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{2}- \hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}{v}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$

となる．したがって，任意の時刻 $3$\displaystyle{t\[\text{s}\]}$ における加速度(瞬間の加速度)は，

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }$t$}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {v}\limits^{\rightarrow }$t+{\Delta}t$- {v}\limits^{\rightarrow }$t$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} d{v}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }$

で与えられる．

$平面上の加速度$

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最終更新日： 2025年10月21日