加速度

$3$\displaystyle{v-t}$ グラフ

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点Pと点Qを初期位置に．
点Pに点Qを．
点Pと点Qを．

○ 平均の加速度

直線上を運動する物体の，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ での速度を $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{1}\[\text{m}/\text{s}\]}$ ，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}\[\text{s}\]}$ での速度を $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{2}\[\text{m}/\text{s}\]}$ とすると，この間の速度の平均変化率を平均の加速度といい，

$3$\displaystyle{\bar{a}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{2}- \hspace{1}{v}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\Delta}v \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\Delta}v=\hspace{1}{v}_{2}-\hspace{1}{v}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}t=\hspace{1}{t}_{2}-\hspace{1}{t}_{1}}$

で表される．平均の加速度 $3$\displaystyle{\bar{a}\[\text{m}/{\text{s}}^{2}\]}$ は右図の点Pと点Qを結ぶ直線の傾きを表す．

○ 加速度（瞬間の加速度）

上の平均の加速度の式において， $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}}$ に限りなく近づける，つまり $3$\displaystyle{{\Delta}t}$ を限りなくゼロに近づけると， $3$\displaystyle{\bar{a}\[\text{m}/{\text{s}}^{2}\]}$ は時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における加速度(瞬間の加速度)

$3$\displaystyle{a$\hspace{1}{t}_{1}$={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{t}_{2}\rightarrow \hspace{1}{t}_{1} }\bar{a}={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{t}_{2}\rightarrow \hspace{1}{t}_{1} }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{v}_{2}- \hspace{1}{v}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}v \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$

となる．つまり，速度 $3$\displaystyle{v$t$\[\text{m}/\text{s}\]}$ の時刻 $3$\displaystyle{t=\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における微分係数に対応し，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における瞬間の加速度 $3$\displaystyle{a$\hspace{1}{t}_{1}$\[\text{m}/{\text{s}}^{2}\]}$ は右図の点Pにおける接線の傾きを表す．

したがって，任意の時刻 $3$\displaystyle{t\[\text{s}\]}$ における加速度は，速度 $3$\displaystyle{v$t$\[\text{m}/\text{s}\]}$ の導関数として

$3$\displaystyle{a$t$={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} v$t+{\Delta}t$-v$t$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}}$

で与えられる．

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学生スタッフ作成

2025年9月18日