速度

$3$\displaystyle{x-t}$ グラフ

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点Pと点Qを初期位置に戻す．
点Pに点Qを近づける．
点Pに点Qを重ねる．

○ 平均の速度

直線上（ $3$\displaystyle{x}$ 軸上）を運動する物体の，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ での位置を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}\[\text{m}\]}$ ，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}\[\text{s}\]}$ での位置を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}\[\text{m}\]}$ とすると，この間の位置の平均変化率を平均の速度といい，

$3$\displaystyle{\bar{v}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\Delta}x=\hspace{1}{x}_{2}-\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}t=\hspace{1}{t}_{2}-\hspace{1}{t}_{1}}$

で表される．つまり，変位 $3$\displaystyle{{\Delta}x}$ を時間 $3$\displaystyle{{\Delta}t}$ で割った量である．平均の速度 $3$\displaystyle{\bar{v}\[\text{m}/\text{s}\]}$ は右図の点Pと点Qを結ぶ直線の傾きを表す．

○ 速度（瞬間の速度）

上の平均の速度の式において， $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}}$ に限りなく近づける，つまり $3$\displaystyle{{\Delta}t}$ を限りなくゼロに近づけると， $3$\displaystyle{\bar{v}\[\text{m}/\text{s}\]}$ は時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における速度(瞬間の速度)

$3$\displaystyle{v$\hspace{1}{t}_{1}$={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{t}_{2}\rightarrow \hspace{1}{t}_{1} }\bar{v}={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{t}_{2}\rightarrow \hspace{1}{t}_{1} }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$

となる．つまり，位置 $3$\displaystyle{x$t$\[\text{m}\]}$ の時刻 $3$\displaystyle{t=\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における微分係数に対応し，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における瞬間の速度 $3$\displaystyle{v$\hspace{1}{t}_{1}$\[\text{m}/\text{s}\]}$ は右図の点Pにおける接線の傾きを表す．

したがって，任意の時刻 $3$\displaystyle{t\[\text{s}\]}$ における速度は，位置 $3$\displaystyle{x$t$\[\text{m}\]}$ の導関数として

$3$\displaystyle{v$t$={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} x$t+{\Delta}t$-x$t$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}}$

で与えられる．

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学生スタッフ作成

2025年9月18日