平面上の速度

速度のページでは，直線上を運動する物体の速度の説明をした．このページでは，平面上の速度について説明する．

平面上を運動する物体の速度は，大きさと向きの両方をもつためベクトル量である．よって，速度ベクトル $3$\displaystyle{{v}\limits^{\rightarrow }}$ は， $3$\displaystyle{x}$ 方向， $3$\displaystyle{y}$ 方向のそれぞれの成分を用いて，

$3$\displaystyle{ {v}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{v}_{x},\hspace{1}{v}_{y} $ }$

と表すことができ，速度の大きさ

$3$\displaystyle{ \|{v}\limits^{\rightarrow }\| =\sqrt{ v_{x}^{2}+v_{y}^{2} } }$

が速さを表す．

平面上を運動する物体の，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ での位置を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}\[\text{m}\]}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}\[\text{m}\]}$ ，時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}\[\text{s}\]}$ での位置を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}\[\text{m}\]}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{2}\[\text{m}\]}$ とする． $3$\displaystyle{{\Delta}x=\hspace{1}{x}_{2}-\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}y=\hspace{1}{y}_{2}-\hspace{1}{y}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}t=\hspace{1}{t}_{2}-\hspace{1}{t}_{1}}$ とおくと，平均の速度は

$3$\displaystyle{\bar{\bar{v}}=$\hspace{1}{\bar{v}}_{x},\hspace{1}{\bar{v}}_{y}$}$ $3$\displaystyle{=$\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}},\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{y}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}$}$ $3$\displaystyle{=$\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}},\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}$}$

で表される．

$平面上の速度$

上の平均の速度の式において， $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{2}}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}}$ に限りなく近づける，つまり $3$\displaystyle{ {\Delta}t=\hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} }$ を限りなくゼロに近づけると， $3$\displaystyle{\bar{\bar{v}}\[\text{m}/{\text{s}}^{2}\]}$ は時刻 $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{1}\[\text{s}\]}$ における速度(瞬間の速度)は

$3$\displaystyle{{v}\limits^{\rightarrow }$\hspace{1}{t}_{1}$}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{t}_{2}\rightarrow \hspace{1}{t}_{1} }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{r}\limits^{\rightarrow }}_{2}- \hspace{1}{{r}\limits^{\rightarrow }}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{t}_{2}- \hspace{1}{t}_{1} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}{r}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$

となる．したがって，任意の時刻 $3$\displaystyle{t\[\text{s}\]}$ における速度(瞬間の速度)は，

$3$\displaystyle{{v}\limits^{\rightarrow }$t$}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {r}\limits^{\rightarrow }$t+{\Delta}t$- {r}\limits^{\rightarrow }$t$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} d{r}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} = $ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}},\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ }$

で与えられる．

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最終更新日： 2025年10月21日