等加速度直線運動の式の導出（積分から求める）

$グラフ$

時刻 $3$\displaystyle{t\[s\]}$ での位置，速度，加速度をそれぞれ $3$\displaystyle{x $t$ \[\text{m}\]}$ ， $3$\displaystyle{v $t$ \[\text{m}/\text{s}\]}$ ， $3$\displaystyle{a $t$ \[\text{m}/{\text{s}}^{2}\]}$ とする．

物体が等加速度直線運動をしているとき，物体の加速度は一定 ( $3$\displaystyle{a=\text{const}}$ )である．初期条件を用いて積分することで(位置，速度，加速度の関係)任意の時刻 $3$\displaystyle{t\[s\]}$ での位置 $3$\displaystyle{x $t$ \[\text{m}\]}$ と速度 $3$\displaystyle{v $t$ \[\text{m}/\text{s}\]}$ を導出することができる．

初期条件：時刻 $3$\displaystyle{ t=0\text{\hspace{1}\hspace{1}}\text{s} }$ での速度を $3$\displaystyle{v$0$=\hspace{1}{v}_{0}\[\text{m}/\text{s}\]}$ ，位置を $3$\displaystyle{x$0$=\hspace{1}{x}_{0}\[\text{m}\]}$ とする．

$3$\displaystyle{ $I$ }$ 速度 $3$\displaystyle{v\[\text{m}/\text{s}\]}$ は以下のように積分することで求めることができる．

$3$\displaystyle{ v=\displaystyle{ \int adt }=at+\hspace{1}{C}_{1} }$

$3$\displaystyle{ t=0\text{\hspace{1}\hspace{1}}\text{s} }$ のとき $3$\displaystyle{ v=\hspace{1}{v}_{0} \[\text{m}/\text{s}\]}$ を上式に代入して $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}=\hspace{1}{v}_{0}}$ が得られる．

よって速度 $3$\displaystyle{v\[\text{m}/\text{s}\]}$ は

$3$\displaystyle{ v=\hspace{1}{v}_{0}+at }$

と表される．

$3$\displaystyle{ $II$ }$ 位置 $3$\displaystyle{ x \[\text{m}\]}$ は以下のように積分して求めることができる．

$3$\displaystyle{ x=\displaystyle{ \int vdt }=\hspace{1}{v}_{0}t+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}a{t}^{2}+\hspace{1}{C}_{2} }$

$3$\displaystyle{ t=0\text{\hspace{1}\hspace{1}}\text{s} }$ のとき $3$\displaystyle{ x=\hspace{1}{x}_{0} \[\text{m}\]}$ を上式に代入して $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{2}=\hspace{1}{x}_{0}}$ が得られる．

よって位置 $3$\displaystyle{ x \[\text{m}\]}$ は

$3$\displaystyle{ x=\hspace{1}{x}_{0}+\hspace{1}{v}_{ \hspace{1}{ }_{0} }t+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}a{t}^{2} }$

と表される．

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最終更新日： 2025年9月19日