2次元における $3$\displaystyle{n}$ 質点系の重心の導出(別解)

2次元における3質点系の重心において，重心の座標を重心Gのまわりの3質点系のつり合い条件より導いた．

ここでは，異なる手法として，2質点系の重心の座標を繰り返し導出することで，3質点系の重心の座標を導く．

3質点の質量を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{m}_{1}\text{\hspace{1}}\[\text{k}\text{g}\] }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{m}_{2}\text{\hspace{1}}\[\text{k}\text{g}\] }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{m}_{3}\text{\hspace{1}}\[\text{k}\text{g}\] }$ とし，座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1} $ \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$ ， $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{2},\hspace{1}{y}_{2} $ \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$ ， $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{3},\hspace{1}{y}_{3} $ \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$ と置く．質点 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{m}_{1}\text{\hspace{1}}\[\text{k}\text{g}\] }$ と質点 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{m}_{2}\text{\hspace{1}}\[\text{k}\text{g}\] }$ の重心G'の座標を $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{ G\prime },\hspace{1}{y}_{ G\prime } $ \text{\hspace{1}}\[\text{m}\] }$ とすると，2質点系の重心(2次元)より，

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{ G\prime },\hspace{1}{y}_{ G\prime } $ }$ $3$\displaystyle{ = $ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}\hspace{1}{x}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} \hspace{2}},\frac{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{y}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}\hspace{1}{y}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} \hspace{2}} $ \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$

2質点 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}\text{\hspace{1}}\[\text{kg}\] }$ の重心 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{ G\prime },\hspace{1}{y}_{ G\prime } $ }$ と，質点 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{m}_{３}\text{\hspace{1}}\[\text{k}\text{g}\] }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 の座標 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{3},\hspace{1}{y}_{3} $ \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$ に対する重心Gの座標 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{G},\hspace{1}{y}_{G} $ \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$ は，2質点系の重心(2次元)より，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G}=\frac{\hspace{2} $ \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} $ \hspace{1}{x}_{ G\prime }+\hspace{1}{m}_{3}\hspace{1}{x}_{3} \hspace{2}}{\hspace{2} $ \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} $ +\hspace{1}{m}_{3} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} $ \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} $ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}\hspace{1}{x}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} \hspace{2}}+\hspace{1}{m}_{3}\hspace{1}{x}_{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}+\hspace{1}{m}_{3} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}\hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{m}_{3}\hspace{1}{x}_{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}+\hspace{1}{m}_{3} \hspace{2}} \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{G}=\frac{\hspace{2} $ \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} $ \hspace{1}{y}_{ G\prime }+\hspace{1}{m}_{3}\hspace{1}{y}_{3} \hspace{2}}{\hspace{2} $ \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} $ +\hspace{1}{m}_{3} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} $ \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} $ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{y}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}\hspace{1}{y}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2} \hspace{2}}+\hspace{1}{m}_{3}\hspace{1}{y}_{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}+\hspace{1}{m}_{3} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}\hspace{1}{y}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}\hspace{1}{y}_{2}+\hspace{1}{m}_{3}\hspace{1}{y}_{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{m}_{1}+\hspace{1}{m}_{2}+\hspace{1}{m}_{3} \hspace{2}} \text{\hspace{1}}\[\text{m}\]}$

これは3質点系の重心(2次元)に等しい．

一般に， $3$\displaystyle{n}$ 質点系の重心の座標も2質点系の重心の座標を $3$\displaystyle{ n- 1 }$ 回繰り返し導くことで得られる．

$重心の位置(2次元)$

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学生スタッフ作成

2025年10月21日

2次元における 質点系の重心の導出(別解)

2次元における $3$\displaystyle{n}$ 質点系の重心の導出(別解)