完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+\log y $ dx }$ $3$\displaystyle{ + $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+\log x $ dy }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

■答

$3$\displaystyle{y\log x+x\log y=c}$

■ヒント

完全微分方程式の解法

完全微分方程式 $3$\displaystyle{Pdx+Qdy=0}$ の一般解は

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{x} P $ x,y $ dx+ }\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q $ a,y $ dy }=c}$ ･･････(1)

ここで $3$\displaystyle{a}$ と $3$\displaystyle{b}$ は定数であり， $3$\displaystyle{c}$ は任意定数である．

■解き方

$3$\displaystyle{ P=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+\log y }$ , $3$\displaystyle{ Q=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+\log x }$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{P}_{y}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{Q}_{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{P}_{y}=\hspace{1}{Q}_{x}}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する． $3$\displaystyle{ a=1 }$ , $3$\displaystyle{ b=1 }$ として

$3$\displaystyle{ {\displaystyle{\int }}\limits_{1}^{x} $ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+\log y $ dx }$ $3$\displaystyle{ +{\displaystyle{\int }}\limits_{1}^{y} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+\log 1 $ dy }$ $3$\displaystyle{ =c }$ ( $3$\displaystyle{ \log 1=0 }$ )

$3$\displaystyle{ \[ y\log x+x\log y \] _{1}^{x}+ \[ \log y \] _{1}^{y}=c}$

$3$\displaystyle{y\log x+x\log y- \log y+\log y=c}$

$3$\displaystyle{y\log x+x\log y=c}$

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最終更新日： 2023年6月15日