変数分離形微分方程式に関する問題

■部分分数分解のやり方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}dx}$ ･･････(1)

まず(1)式の左辺を部分分数分解する．左辺を次のように変形する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} y+1 \hspace{2}}}$ ･･････(2)

(2)式の右辺を通分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} y+1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} A $ y+1 $ +By \hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}}$

この式を整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} A $ y+1 $ +By \hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} Ay+A+By \hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} $ A+B $ y+A \hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}}$

よって(2)式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} $ A+B $ y+A \hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}}$ ･･････(3)

(3)の等式が成立するためには

$3$\displaystyle{A+B=0}$ ， $3$\displaystyle{A=1}$ でなければならない．以上より $3$\displaystyle{B=- 1}$ となり(2)式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y+1 \hspace{2}}}$ ･･････(4)

となる．

同様に(1)式の右辺を部分分数分解する．右辺を次のように変形する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}}$ ･･････(5)

(5)式の右辺を通分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} C $ x+1 $ +D $ x- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}}$

この式を整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} C $ x+1 $ +D $ x- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} $ C+D $ x+C- D \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}}$

よって(5)式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} $ C+D $ x+C- D \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}}$ ･･････(6)

(6)の等式が成立するためには

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} C+D=0 & \vspace{6}\\ C- D=1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

でなければならない．以上より

$3$\displaystyle{C=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{D=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となり(5)式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ }$ ･･････(7)　

となる．

従って(4)，(7)式より(1)式は次のようになる

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y+1 \hspace{2}} $ dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ dx}$

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最終更新日： 2023年6月18日