変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2xy \hspace{2}} }$

( $3$\displaystyle{ x=1 }$ , $3$\displaystyle{ y=1 }$ )

$3$\displaystyle{y=\sqrt{ \log \left|{x}\right|+1 }}$

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

$3$\displaystyle{g$y$dy=f$x$dx}$

両辺を積分して

$3$\displaystyle{\int g$y$dy=\int f$x$dx +C}$

求めた微分方程式に初期条件（ $3$\displaystyle{x=1,y=1}$ ）を代入

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2xy \hspace{2}}}$

両辺に $3$\displaystyle{dx}$ をかける

$3$\displaystyle{2ydy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int 2ydy }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }+C}$

（ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

$3$\displaystyle{{y}^{2}=\log \|x\| +C}$ 　　　　･･･(1)

この式に初期条件 $3$\displaystyle{ $ x=1,y=1 $ }$ を代入すると

$3$\displaystyle{1=0+C}$

$3$\displaystyle{C=1}$

よって，(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{y}^{2}=\log \|x\| +1}$

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$3$\displaystyle{y=\sqrt{ \log \left|{x}\right|+1 }}$

∵ $3$\displaystyle{y\left({1}\right)=1> 0}$

最終更新日： 2023年6月18日