変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={e}^{ 2x }{e}^{ 3y }}$ （ $3$\displaystyle{ x=0 }$ , $3$\displaystyle{ y=0 }$ ）

■答

$3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 5- 3{e}^{ 2x } }\right)}$

■ヒント

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

$3$\displaystyle{g$y$dy=f$x$dx}$

両辺を積分して

$3$\displaystyle{\int g$y$dy=\int f$x$dx +C}$

求めた微分方程式に初期条件（ $3$\displaystyle{ x=0 }$ , $3$\displaystyle{ y=0 }$ ）を代入

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={e}^{ 2x }{e}^{ 3y }}$

両辺に $3$\displaystyle{dx}$ をかける

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3y } \hspace{2}}dy={e}^{ 2x }dx}$

$3$\displaystyle{{e}^{ - 3y }dy={e}^{ 2x }dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{ - 3y }dy }=\displaystyle{ \int {e}^{ 2x }dx }+C}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ - 3y }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }+C}$

両辺に6をかけると

$3$\displaystyle{ - 2{e}^{ - 3y }=3{e}^{ 2x }+6C }$ （ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

この式を整理して

$3$\displaystyle{3{e}^{ 2x }+2{e}^{ - 3y }=- 6C}$ 　　　･･･(1)

この式に初期条件（ $3$\displaystyle{ x=0 }$ , $3$\displaystyle{ y=0 }$ ）を代入すると

$3$\displaystyle{3+2=- 6C}$

$3$\displaystyle{- 6C=5}$

よって，(1)に代入すると

$3$\displaystyle{3{e}^{ 2x }+2{e}^{ - 3y }=5}$

$3$\displaystyle{2{e}^{ - 3y }=5- 3{e}^{ 2x }}$

$3$\displaystyle{{e}^{ - 3y }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 5- 3{e}^{ 2x } }\right)}$

$3$\displaystyle{- 3y=\log \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 5- 3{e}^{ 2x } }\right)}$

$3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 5- 3{e}^{ 2x } }\right)}$

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最終更新日： 2023年6月18日